探索勾股定理篇1

一、利用情境，激发学生的学习兴趣

兴趣是最好的老师，学生有了学习兴趣，他们的思维就会保持在积极的探索状态之中，有了兴趣他们就把学习作为自己内心的需要，而不是把学习当做一种负担。教学中我们应做到：

（1）利用新旧知识的冲突，激发学生的探索欲望。

例如，在“正弦和余弦”概念教学时，设计如下两个问题：

①RtABC中，已知斜边和一直角边，怎样求另一直角边？

②在RtABC中，已知∠A和斜边AB，怎样求∠A的对边BC？

问题①学生自然会想到勾股定理，而问题；②利用勾股定理则无法解决，从而产生认知上的冲突──怎样解决这类问题呢？学生的探求新知识的欲望便会油然而生，产生学习兴趣。

（2）利用生活中熟知的常见的实际问题激发学生的探索欲望。

如在教“统计初步”时，设计以下例子：

孙老师为了从甲乙两名运动员中选取一人参加比赛，两人在相同条件下各跳10次，成绩如下表：

甲：5．75．85．65．85．65．55．96．05．75．4

乙：5．95．55．75．85．75．65．85．65．75．7

怎样比较两人的成绩高低，选谁参加比赛？孙老师经过科学的数据处理，选出一名运动员参加比赛，取得了较好的成绩。他是怎样计算的呢？

学生此时思维活跃起来，对探求新知识兴趣盎然，师生很顺利地完成此节内容，同时也加深了学生对数学知识来源于生活又应用于生活的认识。

二、利用情境，鼓励学生主动参与

美国教育家布鲁纳认为：“知识的获取是一个主动的过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者。”教师应在课堂教学中创造条件，创设情境，让学生自己去探索、去发现，亲历数学构建过程，掌握认识事物，发现真理的方式方法，从而培养学生的创新意识。

例如教师可以出示以下几组勾股数，请同学们讨论这些勾股数的特征：

3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……

开始学生们只注意到：每组勾股数的前一个数都是奇数，后两个数是一奇一偶，之后陷入僵局。教师启发道：一奇一偶之间有什么联系？学生们发现是连续数。忽然一名学生发现后两数之和恰是一个完全平方数，稍一顿，即抬头，急切地说：“这两个数的和恰是一个完全平方数，这个完全平方数就是前一个数的平方……”这样，在思考，观察中发现规律，灵感一触即发。学生们找到了勾股数的特征：即大于1的奇数的平方分成两个连续的自然数，此奇数与这两个连续自然数成勾股数。

三、利用情境，引导学生探究数学规律，解决数学问题

教学中，我打破常规，对例题进行精心的设计，大胆创设问题情景，引导学生探究数学规律，解决数学问题。

在“请你来帮忙”的数学练习中：花园工人想知道矩形花园ABCD的两条道路AC、BD的长度，两路AC、BD相交于点O，可他测量出了AO的长为20米正要接着量，他正在读八年级的儿子小明回来了，对他说：“不用量了，两条路的长都是40米。”他百思不得其解，不知道儿子说的对不对，你能帮他判断吗？说说你判断的理由。

探索勾股定理篇2

一、定理引入

课堂教学开展之初，应利用一些生动有趣的故事引入，让学生对所学知识产生兴趣.

在教学勾股定理时，我用《九章算术》中的一题引入：如图1，有个一丈见方的水池，在这个池中生长着一株植物，植物形似芦苇，恰好伸出水面一尺长，假如把这株植物弯向岸边，直到其与地面相连时，可否得出这一池水的深度，以及这株植物的长度？

图1在方案设计时融入故事和趣味问题，主要的意图是通过这些妙趣横生的情境来激发学生的想象力，让他们对学习勾股定理产生兴趣，从而调动起他们的探究热情.

图2二、定理探索

定理的探索是一个发现的过程，主要分为以下两步.

1.直角三角形的三边数量关系的猜想

结合图2，若图中小方格的单位面积为1.问题（1）：如何求出三个正方形的面积？问题（2）：三个正方形的面积之间有什么等量关系？问题（3）：你能否得出直角三角形三边的数量关系？

2.猜想验证

首先作出八个全等的直角三角形，它们的两个直角边和斜边分别设定为a、b、c，再作三个正方形，它们的边长分别为a、b、c.然后按照图3所示，将它们拼成两个大的正方形.我们从两个大正方形中可以发现，它们的边长均为a+b，因此可以断定它们的面积等同.即.

图3通过上述验证探索我们可以得知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）.

三、定理应用

在验证完上述定理之后，还需要针对学生掌握的情况进行解题尝试，让学生可以进一步应用定理.以上述《九章算术》的习题为例，让学生尝试求出池水的深度以及这株植物的长度.

因为学生此时已经大致了解了勾股定理，因此在理解题意的基础上，可以整理出AB2=AC2+BC2，再将有关代数式代入等式中，通过解方程可以得出水深12尺，这株植物的长度为13尺.

四、定理证明

图4当学生完成了对勾股定理的猜测、验证和应用后，最后还要对勾股定理进行证明.对此，我们将学生分为几个小组，让学生组内合作进行定理的证明.当然，勾股定理的证明方法有很多，所以针对不同的小组，让他们采用不同的方法加以证明.就拿拼图法来说，除了像图3那种方法外，也可以用图4来证明.

这一部分的操作意图是为了让学生之间的互动交流得以加强，使他们对勾股定理的原理和认知能够得到全面的巩固.

五、习题巩固

针对学生对勾股定理的掌握情况，教师安排一些有针对性的习题进行一系列的巩固练习，这在强化学生应用能力的同时，也加深了他们对该定理的认知，从而让知识变得真实易懂，融入自身.

探索勾股定理篇3

关键词：认知结构；情境设计；创新意识

中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2013）10-132-01

说到数学，人们往往会把它和“枯燥”一词联系在一起，不光是学生，很多成人也是这样认为的。有人说“兴趣是最好的老师。”所以要想让学生学好数学，激发他们对数学的学习兴趣是首当其冲的任务。在教学中我发现，课堂前五分钟时间把握得好不好直接关系到一堂课的教学效果。所以这就对课堂情境的设计要求比较高，而数学教学应根据学生的数学基础和思维能力，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性的学习。新课程标准认为，数学教学是对数学思维过程的教学，学生学习数学的过程是构建数学模型的过程。

问题是数学的核心，是创造思维的源泉。在教学中，我们应有意识地创设发现问题的情境，这是发展思维的关键一环，也是培养学生创新能力的最好途径。

一、创设情境，培养学生的学习兴趣。

学生有了学习兴趣，他们的思维就会保持在积极的探索状态之中，有了兴趣他们会把学习作为自己内心的需要，而不是把学习当作一种负担。在教学中，我们应有意识地创设问题情境，激发学生求知的欲望。

1、利用数学小故事，吸引学生的注意力，激发他们对数学的学习兴趣

例如，在讲“鸡兔同笼”问题时，引入古人解决这道题的方法，“金鸡独立，兔子站起”，吸引学生的好奇心，体会数学的乐趣。

2、利用数学小实验，制作一些简易的几何模型，可以激发学生的学习兴趣，提高学生的动手操作能力，引发学生的好奇心和求知的欲望，并培养学生的思维能力和空间观念。

例如，在讲三角形内角和定理时，可以这样设置问题：

①拿出课前剪好的ABC纸片，剪下∠A、∠B和∠C拼在一起，观察它们组成什么角？

②由此你能猜出什么？

③在拼图中，你受到哪些启发？（指如何添加辅助线来证明）

这样创设情境，使学生认识到∠A+∠B+∠C=180o，从而对三角形内角和定理有一个感性认识，同时通过拼角找出定理的证明方法，学生在动脑、动手、动眼、动口的实践中，培养了观察能力，提高了学习兴趣。

3、利用新旧知识的冲突，激发学生的探索欲望。例如，在“正弦和余弦”概念教学时，设计如下两个问题：

①在RtABC中，已知斜边和一直角边，怎样求另一直角边？

②在RtABC中，已知∠A和斜边AB，怎样求∠A的对边BC？

由问题①学生自然会想到勾股定理，而问题②利用勾股定理则无法解决，从而产生认知上的冲突──怎样解决这类问题呢？学生的探求新知识的欲望便会油然而生，产生学习兴趣。

4、利用学生在生活中熟知的，常见的实际问题来激发学生的探索欲望。例如在讲授“数据的波动”时，设计如下例子：

我们为了从甲乙两名运动员中选取一人参加跳高比赛，两人在相同条件下各跳8次，成绩如下表：

甲：1.701.651.681.691.721.731.681.67

乙：1.601.731.721.611.621.711.701.75

怎样比较两人的成绩高低，选谁参加比赛？我可以经过科学的数据处理，选出一名运动员参加比赛，取得了较好的成绩。大家猜想一下我是怎样计算的呢？

学生此时思维活跃起来，对探求新知识兴趣也提高了，师生很顺利地完成此节内容，同时也加深了学生对数学知识来源于生活又应用于生活的认识。

二、创设情境，鼓励学生主动参与，在亲历数学建构过程中培养学生的创新意识。

记得有人说过“知识的获取是一个主动的过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者。”在课堂教学中创造条件，创设情境，让学生自己去探索、去发现，亲历数学构建过程，掌握认识事物，发现真理的方式方法，从而培养学生的创新意识。

在讲勾股数时，可以出示了这样几组勾股数，让学生讨论这些勾股数的特征：

3，4，5；5，12，13；

7，24，25；9，40，41……

探索勾股定理篇4

［摘

要］本文针对上海教育出版社出版的九年义务教育数学八年级第二学期课本，着重讲解了勾股定理的教学设计，通过这一教学设计与反思，强调了教师在教学的过程中要强调学生的主动性，培养学生各方面的能力.

［关键词］教学；勾股定理；设计；反思

■教材简析

（使用教材：上海教育出版社出版九年义务教育课本数学（试用本）八年级第二学期）

勾股定理是平面几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在生产、生活实际中用途很大.它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛应用.

勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值.本节课是在学生已具备了直角三角形的有关知识，积累了一定的观察、操作等活动经验，具有一定的说理能力和初步推理能力的基础上学习的.本节课可通过丰富的拼图实践活动，让学生经历验证勾股定理的过程，感受解决问题的方法的开放性，激发数学探究兴趣，享受数学思维的快乐，对培养学生良好的思维品质起重要作用.

■设计理念

现代教学论认为数学课应该加强学生的数学活动，学生是活动的主人.如果学生能在活动中把概念、定理、性质、公式等，通过自己的努力去发现和创造出来，这就是我们课堂教学中追求的最高境界，也是课程改革的迫切要求.心理学家皮亚杰曾说过：“一切真理都要让学生自己去获取，由他重新发现，而不是草率地传授给他.”

可是，长期以来，我们的数学课堂教学过于重视结论，而轻视了过程.为了应付考试，为了使学生对公式、定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用“题海战术”进行强化.在数学概念、公式、定理的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用“程式”的解题机器，这样的学生面临新问题时就会束手无策.

数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体.新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验.我意识到：在数学教学中，要让“教”和“学”和谐统一，形成感性到理性的认知过程，促进学生的全面发展.教师的“教”应体现在创设情境、激发兴趣、组织探索、引导发现上，学生的“学”则应体现在操作讨论、探究发现、归纳结论上.

基于以上认识，在设计本节课时，我所考虑的不是简单地告诉学生勾股定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理、证明定理.从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些好似数学家才能完成的事.在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到了充分发挥，能极大地激发他们的学习兴趣，提高他们提出问题、解决问题的能力，同时培养他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念.

■教学目标

通过本节课的学习，力求达到：

1.理解和掌握勾股定理的内容及简单的应用.

2.通过学生的动手操作及探求勾股定理的发现、证明过程，初步体会用面积法解决几何问题的基本策略，了解从特殊到一般的推理方法及数形结合的数学思想方法，初步培养学生探究问题的能力，增强逻辑思维能力.

3.通过介绍我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，感受祖国文化的悠久，激发学生的民族自豪感和爱国热情.

4.通过活动讨论，增强合作意识，初步培养探索的精神，并体验探索成功的乐趣.

■教学重点、难点

重点：勾股定理的内容及简单的应用.

难点：勾股定理的拼图证明.

■教学过程

（一）创设情境？摇导入新课

【电脑演示】

情境1？摇1995年希腊发行的一张邮票（图1）和icm2002年国际数学家大会会标（图2），并出示问题：为何以这个图案发行邮票？以这个图案作为会标？

■

情境2

学校操场上，呈现升旗仪式场面照片，最后定格在旗杆照片，并出示问题：如何测算出学校操场上旗杆的高？

【设计意图：设疑激趣，明确目标】

新课标强调数学应返璞归真.在教学过程中，要贯彻“生活即数学，生活即教材”的理念.从生活中引出问题，从问题中引出课题.通过创设恰当的情境，培养学生用数学的意识，教会学生观察生活，领悟生活中的数学因素.

问题是思维的出发点，通过有意识地设置问题情境，提出思考要求，能激发学生强烈的好奇心和求知欲.

（二）师生互动？摇探究新知

【电脑演示】

实验猜想：给出三个具体的直角三角形.？摇用一把尺度量各直角三角形的三边，得到下列数据：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17.？摇？摇

引导学生对数据进行分析，猜想三边关系.由32+42=52，52+122=132，82+152=172的关系式，学生可能会得出：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.

进一步引导学生：由特殊到一般的推理只是一种猜想，是否正确还须通过证明.

提出问题：对于一般的直角三角形，是否都有a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）？

【设计意图：探索发现，揭示新知】

从具体的图形入手，通过测量出具体的数据，经过计算、观察，发现结论，进而提出猜想，这种处理方法，一方面，符合学生的认知规律和心理发展规律，另一方面，也符合知识的发生、发展规律，有利于让学生经历知识的形成过程，有利于加深学生对数学学习的体验.

1.？摇证法探究

给出一套拼板（如图3，四个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形），请学生从中选出几个，拼成组合图形，要求学生设法利用组合图形的面积来证明上述结论，即证明a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）.

■

采用小组合作探究的方式，给学生充分的时间进行拼图、思考、交流.教师巡视，适时介入小组讨论.当有小组找到解决方法后，请该组派一位同学代表上讲台，展示拼图方法，交流证法.然后，教师借助电脑进行动态演示.学生可能会通过以下几种组合图形的面积得到结论.

方法1

如图4，由afe≌deh推出∠afe=∠deh.又因为∠afe+∠aef=90°，所以∠deh+∠aef=90°.于是可得∠feh=90°.同理可得∠fgh=∠ghe=∠efg=90

°，所以s四边形efgh？摇=c2.而s正方形abcd=s四边形efgh+4saef，即（a+b）2=c2+4×■ab，a2+2ab+b2=c2+2ab，所以a2+b2=c2.

方法2

与方法1的证法类似.如图5，因为（b－a）2+4×■ab=c2，即b2－2ab+a2+2ab=c2，所以b2+a2=c2.（介绍赵爽弦图及“演段算法”）

■

方法3

如图6，因为■（a+b）（a+b）=2×■ab+■c2，所以a2+2ab+b2=2ab+c2，即a2+b2=c2.（介绍此证法与美国第二十任总统珈菲尔德的证法一致）

■

【设计意图：激活思维，加深体验】

《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须向学生提供充分从事数学活动的机会.”这就是指，学生在教师的引导下参与教学活动，体验、发现、归纳，即在教师的引导下发挥学生的主观能动性，体验数学的再创造过程.这里设计拼图活动就是基于上述思考.

利用拼图证明勾股定理是一种开放性的探究活动，其起点低，层次多，目前已发现的证法有四百多种，学生易于下手，每个学生都有解决问题的机会，它促进学生智力因素与非智力因素的同步发展，激发学生的创造意识.

2.定理推出

【板书勾股定理，介绍勾股定理，揭示课题引入时的问题】

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

【设计意图：数学文化，德育渗透】

我国古代的学者，对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理（比西方要早500多年），而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家数学的影响很大，这些都是我国人民对人类的重大贡献.通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，有利于激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，有利于培养他们的民族自豪感，并激励学生奋发图强，努力学习.寓思想教育于学科教学中，这也是新课程所追求的.

3.简单应用

【电脑演示】

例1在等腰三角形abc中，ab=ac=13cm，bc=10cm（如图7），求abc的面积.

■

（教师板书解题过程，解题过程略）

例2？摇有一旗杆，升旗用的绳子沿旗杆放下时，绳子下端有一部分在地面上，将地面上的这部分拉直后，量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为0.2米，再将绳子拉直且下端点放在地上，此时量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为2.2米.问旗杆高度是多少？

【设计意图：内化新知，反馈调控】

这一环节是学生巩固知识、形成技能、发展智力的重要阶段.例1是勾股定理的简单应用，通过例1的学习有利于学生加深对勾股定理的理解与掌握，强化基本技能，落实本节课的教学重点.例2是一道实际素材背景的应用题，并与课题引入时的“情境2”首尾相顾，前后呼应，形成一个整体.学生应用所学的知识，很快就能解决“课题引入”时的问题，不仅可以让学生经历勾股定理的应用过程，还可以让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的愿望与信心.

（三）自主小结？摇深化提高

【以学生为主，教师与学生一起进行归纳小结，同时，电脑演示四个“一”】

一个定理……

一次探索……？摇？摇

一个思想……？摇？摇

一份自豪……

【设计意图：回顾整理，总结提升】

小结是对一节课的回顾与整理，也是落实学生主体地位的一个重要环节.在教师的引导下，可让学生自己进行总结或师生合作，体现教学的民主性.这样，不仅有利于培养学生的归纳、概括能力，帮助学生理清知识脉络，将所学的知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，深化本节课所学的内容，还有利于引导学生反思学习过程，认识自我、增强信心、巩固兴趣，让学生在愉悦的、学有收获的心境下结束本节课的学习.

（四）分层作业？摇发展个性

必做题：教材p56练习1、2、3；练习册a册第23页25.4（1）.

选做题：你能否将图8（两个正方形拼成的）剪两刀，拼成一个大正方形，使它的边长正好等于以a，b为直角边的直角三角形的斜边的长度？

■

【设计意图：学以致用，巩固提高】

通过作业，深化新知，可以检验学生掌握知识的情况，发现和弥补“教”与“学”中的遗憾与不足.作业采取“必做题”与“选做题”的处理，为不同程度的学生提供了更为广阔的探求空间.一方面，尊重了学生的个体差异，有利于满足学生多样化的学习需求，“让不同的人在数学上得到不同的发展”，充分落实因材施教的原则；另一方面，选做题具有前瞻性，可引导学生自学探究，将学习由课堂延续到课外.

■设计说明

1．本节课教学设计力求以学生发展为本，以探究活动为核心，师生转换角色，营造良好的学习氛围，培养学生的探索精神，充分调动学生的积极性.

2.学起于思，思起于疑，无疑则无知.教育家托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是唤起学生强烈的求知欲望，激发学习的兴趣”，因此，新课引入时，充分利用多媒体教学的直观性，创设问题情境，能引发学生的思考和探究热情，能自然导入新课.

3．“平面几何在中学数学教学中的真正价值在于它的训练性，即教育学生探索几何事实的过程远比其获得的几何事实有价值得多.”本节课从直角三角形三边关系的猜测，面积方法的证明，到勾股定理的应用，始终为学生提供自主、合作探究的平台，始终以激励学生自主探索为主，教师辅以适时的引导.学生通过动手操作，探索解决问题的多种途径，能激发学习数学的兴趣，培养探索几何事实的能力.

4.数学蕴藏着丰富的文化内涵.本节课设计了数学家的介绍，力求挖掘数学的文化宝藏，学生在生动的爱国主义教育中提高了文化修养.？摇

5.勾股定理的应用方面，本节课设计了两个例题.一个是课本中的一个练习，让学生掌握简单的应用；另一个问题来源于学生熟悉的学校操场，是学生身边的问题，学习将实际问题转化为数学问题.安排这两个例题可以有效地帮助学生巩固知识，培养学生学数学、爱数学、用数学的意识.

6.？摇教学流程：

■

■教学思考

1.数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程

《数学课程标准》特别指出：“数学教学是数学活动的教学.学生要在教师的指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成积极主动的学习态度，同时使身心获得健康.”数学教学过程是数学活动的教学，主要体现在：首先，数学活动是学生通过实践、思考、探索、交流、掌握和运用数学知识的活动.简单地说，整个教学过程应该充分发挥学生的动手、动脑进行数学思维.为了使学生的数学活动能够顺利进行，教师要创设学习环境，为

学生提供进行数学活动的机会，并在学习活动过程中给予适当地指导.其次，数学活动是学生在教师引导下自我建构数学知识的活动，即在数学活动过程中，学生与教材、学生与教师之间产生交互作用，自我建构数学知识结构，形成技能和能力，发展情感态度和思维品质.教师要意识到学生是数学知识主动探索的“建构者”，决不是被动的接受者.教师教学工作的目的就是引导学生进行有效地建构数学知识的活动.

2.数学知识的“过程教学”与“结论教学”相统一

《数学课程标准》把对知识的“过程教学”作为课程目标的重要组成部分，从而突出了数学知识探究过程教学的重要地位.传统的数学教学只注重数学知识结论的教学，学生学到的是一些现成的数学概念、公式、法则，及一些枯燥的数学符号，而对这些概念、公式、法则等的形成过程却很少过问.这种教学把数学知识形成的生动过程变成了呆板的知识记忆，一切都是现成的，它排斥了学生的思考和个性，这实际上是对学生智慧和思维个性的扼杀、压制.当然，对数学知识结论的学习也是必要的，因为这些数学知识结论（概念、原理体系）表征了数学探索的结果，是学生进行数学思考以及学习更高一级知识的基础.但数学教学更为关键的是使学生在掌握知识结论的过程中学会数学思维和数学思想，会用数学思想解决问题.因而，数学课堂教学既要求注重知识结论，又要求重视知识的形成过程.根据数学的特点，在教学中注重知识探究过程的教学有着很重要的教育价值.不仅仅是因为数学概念、原理、公式等体系依赖于探究过程，更主要的是数学知识的探究过程体现了数学多样化的思维和认识方式，并且包含了一系列的质疑、判断、选择、比较、分析、综合、概括等多种认知活动.学生正是在知识的学习过程中培养了运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，进而解决日常生活问题的能力，增强了运用数学的意识，了解了数学的价值，增强了学好数学的信心，也通过探索知识过程的经历和获得知识的体验，进一步培养了学生的数学解决能力和创新精神.所以，在教学活动中应尽可能地为学生创造自主探索的机会，使学生在自主探索的过程中真正理解一个数学问题是怎样提出来的，一个数学概念是如何形成的，一个结论是怎样探索和猜测到的以及是如何应用的.

3.数学教学要从学生出发，以学生为本，关注学生创新思维的发展和学习价值观的形成

教师的教学是为了学生的发展，学生才是教师的“本”.特别是数学学习，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性，每个学生在数学学习过程中都会表现出各自特有的学习方式和理解方式，那么教师的教学就不仅仅是按照课本进行知识点的讲解、习题的操练，更多的应该是从学生实际出发，注意其在数学学习中正确数学观的确立与数学能力的形成.具体的教学设计方式可以是就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题，以便使不同的学生都能得到不同的发展；课堂例题、习题以及课后练习的设计编排要突出层次性，可以设置巩固性、拓展性、探索性等多种层次，在全体学生获得必要发展的前提下，让不同的学生获得不同的体验与发展.

培养学生的创新精神是新课程改革的核心目标之一.创新的心理基础是创新思维.关注学生的创新思维已成为全世界课程改革的特点，教师要关注学生在学习过程中有价值的思考，鼓励学生创新.数学学习的过程是前人发现的一个“再发现”过程，学生在“再发现”的过程中被指引的是一条优化的道路，然而发现过程中必然会出现新的元素，所以教师在教学过程中不能单纯地强调学生在“再发现”中所达到的结果，还要关注和肯定学生在各自的“发现”中所展现的创新思维.

探索勾股定理篇5

1由中国结到勾股定理的证明方法

中国的文化既悠久又丰富，中国的民间艺术丰富，其中中国结就是中国民间艺术的智慧结晶.中国结从头到尾都是用一根丝线编结而成，每一个基本结又根据其形、意命名.把不同的结饰互相结合在一起，或用其它具有吉祥图案的饰物搭配组合，就形成了造型独特、绚丽多彩、寓意深刻、内涵丰富的中国传统吉祥装饰物品.勾股定理的发现可以从中国传统的吉祥装饰物品中体现出来，同样这种数学元素也反映在非洲的装饰品中[1]，如此一来，这一素材又反映了数学多元文化的特点.具体地，图1展现了“结”的前后表面形状，图2是“结”形状的轮廓，包括可以看见的线条以及不可见的线条，由此可以看出中间是一个近似的正方形.

如果按照这个中国结的编织图形（图3）进行分割，通过截取变化（图4）便能得到并证明结论：SC=SA+SB.（图5）

2由纸风车到勾股定理的证明方法

纸风车是一种来自民间的折纸艺术，做法简单，制作后的纸风车形状具有数学对称美，而其形状又成为了证明勾股定理的良好素材.通过观察可以看出纸风车的形状成中心对称，将纸风车中的结点连接，大正方形被分割成一个小正方形和四个全等的四边形（图6）.将图6中的几何图形进行如图7的拼接，可以巧妙地证明勾股定理.

3文化素材的教学应用

多元文化数学的进一步挖掘会使数学的教与学变得更加丰富多彩[2]，从教学的角度思考勾股定理的教学，将上述的文化素材切入勾股定理的学习，将数学融入文化，并从学生认知规律出发设计一堂生动有趣的数学文化课堂.具体而言，上述文化素材可以通过两种方式加以应用.

一是在形成了有关勾股定理的猜想之后，展现中国结与纸风车等文化素材，通过数学化，将生活形状抽象为几何图形，然后再利用拼图游戏来直观化地验证勾股定理.这样做的目的有三.首先，适应学生的几何认知水平.荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5个水平：直观（Visualization）、分析（Analysis）、推理（Inference）、演绎（Deduction）、严谨（Rigor）[3].初中学生的逻辑思维能力还不是太强，因此需要通过直观、操作等手段帮助学生理解抽象的几何关系与演绎逻辑.而借助中国结、纸风车等为载体抽象出来的几何图形，通过拼图能直观地验证勾股定理，这对于数学学习基础尤其是抽象思维能力较弱的学生而言是极为重要的，降低了思维难度，但同时又提高了学生的参与度、兴趣与信心.其次，密切数学与生活的关联.在很长一段时间里，学生学校的数学学习与其生活是相互割裂的.这样的学习也造成了很大的教育问题，即学生的数学学习未能被正当地赋值，甚至有人还提出数学无用论.因此，在教学中需要借助学生生活中常见的素材，并由此学习这些素材中蕴含的数学元素与数学关系，这也即是“数学生活化”的教学设计逻辑[4].这即是指，教师首先确立的是“勾股定理”这一数学维度上的学习目标，然后寻找到如中国结、纸风车等生活中常见的素材，并使之融入到教学之中，以实现“数学生活化”.再次，为了学生文化浸润式的学习.除了密切学生的现实生活与数学之间的关联之外，还要让学生体会到数学的文化厚重感.即借助富有中国传统特色的中国结、流传历史悠久的纸风车来学习数学，能让学生产生历史厚重感.

二是在学生已经学习了勾股定理之后，向学生展现中国结和纸风车图片，要求学生抽象出其中的数学元素，并由此探索这些数学元素之间的数学关系.与前一种将文化素材作为验证勾股定理的载体不同，这里将其后置到定理学习之后作为拓展性的问题让学生探索.这种用法的价值除了具有前述“密切数学与生活之间的关系”、“为了学生文化浸润式的学习”等两个方面之外，还有以下意义.首先，为了知识的巩固与活化.学生在学习了勾股定理之后，除了常规的练习之外，事实上更重要的是要将知识迁移到类似的但又不那么封闭与明确的情境之中.后者不仅在于巩固知识，同时也使知识得到活化.因为，无论是中国结还是纸风车，都需要学生作一定程度的数学化，并将不熟悉的问题化归为刚刚学习的勾股定理相关的问题，显然这就不仅仅是知识的巩固了.其次，从教育目标的角度来看，这种做法还期待培养学生“生活数学化”的能力.关于数学价值，不同的人也许有着不同的理解.但显见的是，在数学上研究越深入的人越能认识到数学的内在价值.造成这种现象的一个重要原因在于，数学的价值有时是非常内隐的，甚至很难为人所感知的.如果在教学中不去挖掘数学的内在价值，有时就会产生误导，甚至会认为数学只是用于计算.也正因如此，我们强调这些文化素材在数学教学中加以应用，就是希望所培养的学生能逐渐拥有用数学思考问题的意识和习惯，拥有用数学更好地组织生活的能力.就本案例而言，中国结与纸风车都是我们文化生活中所常见的，但我们更习惯于用工艺品（或艺术品）的角度来理解，而很少会从数学的角度研究这类物品.但事实是，当我们用数学的角度来理解生活中的这些事和物的时候，往往能带来惊喜：原来我们身边处处有数学.再次，有助于培养学生的数学学习习惯.过去我们所理解的数学学习习惯往往指的是学生伏在案头学习数学的习惯.我们认为，数学学习习惯除了上述方面外，一个更高的层次是学生随时而自然地会想着用数学的角度思考问题.后者当然是理想的状态，但教学中的有意识培养也能帮助学生朝着这个方向前进.其中一个重要的培养策略就是让学生尝试探索也许表面上与数学风马牛不相及的素材中的数学元素，除了中国结、纸风车，还有包括建筑物等素材.需要进一步说明的是，与前一种用法相比，这种用法对学生的数学要求也更高，当然所培养的探索能力也会更强一些.

总之，数学文化的观念已引起人们越来越多的关注，关于数学文化与数学课程教学的整合也是研究的热点问题之一.但关于富含数学元素的民俗文化的挖掘与教育学转换还比较有限，本文也是在这一方向上的一种努力.

参考文献

[1]张维忠.数学教育中的数学文化[M].上海：上海教育出版社，2011：233.

[2]唐恒钧，张维忠.民俗数学及其教育学转化-基于非洲民俗数学的讨论[J].民族教育研究，2014（2）：115-119.