垂直与平行篇1

重点：掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的简单命题.

难点：能否熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化.

1.直线、平面垂直关系的基本思路

无论是线面垂直还是面面垂直都源自于线与线的垂直，即不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口.这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要.在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.

2.直线、平面垂直关系的基本方法策略

（1）利用判定定理.

（2）利用判定定理的推论.

（3）利用面面平行的性质.

（4）利用线面垂直的性质.

（5）利用面面垂直的定义.

（6）利用面面垂直的判定定理.

（7）线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即

这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，这种转化方法是本节内容的显著特征，掌握转化思想方法是解决空间图形问题的重要思想方法.

已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且aα，bβ，则下列命题中的假命题是（）

A.若a∥b，则α∥β

B.若αβ，则ab

C.若a，b相交，则α，β相交

D.若α，β相交，则a，b相交

思索对这种结构的题目，常常做这样的处理：先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设.立体几何中概念、定理、性质非常多，只有熟记了，理解了，做立体几何题才能又快又好，同时注意反例、反证法等方法的使用.

？摇破解A正确.因为a∥b，aα，所以bα.又bβ，所以α∥β.

B正确.设α∩β=l，在α内作cl，因为αβ，所以cβ，又bβ，所以b∥c.因为aα，所以ac，从而ab.

C正确，若α，β不相交，则α∥β，因为aα，所以αβ，又bβ，所以a∥b，这与a，b相交矛盾.

D是假命题，因为a，b可以是异面直线，易找出反例验证.故选择D.

（2010辽宁卷文）如图1，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC■1B■1是菱形，B■1CA■1B.

（1）证明：平面AB1C平面A1BC1；

（2）设D是A1C1上的点且A■1B∥平面B■1CD，求A1D∶DC1的值.

思索（1）求证相关垂直问题时，一般遵循：线线垂直线面垂直面面垂直.在论证线线垂直时，注意回忆平面几何中的相关垂直定理，以及利用线面垂直判定线线垂直等方法.

（2）论证线线垂直、面面垂直问题，均体现出立体几何证明的基本思想——将空间问题转化为平面问题.

破解（1）因为侧面BCC■1B■1是菱形，所以B■1CBC1.又B1CA■1B，且A1B∩BC1=B，所以B1C平面A■1BC■1.又B1C？奂平面AB1C，所以平面AB■1C平面A■1BC■1.

（2）设BC1交B■1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线.因为A1B∥平面B■1CD，所以A■1B∥DE.？摇又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1=1.

（2011新课标全国卷文）如图2，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD底面ABCD.

（1）证明：PABD；

（2）若PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高.

思索空间中的线线垂直关系可转化为线面的垂直关系.棱锥的高，可以先通过面面垂直，转化为线面垂直，得出高线，再转化到三角形内求解.

破解（1）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=■AD.从而BD2+AD2=AB2，可得BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD，所以PABD.

（2）作DEPB，垂足为E，已知PD底面ABCD，所以PDBC，由（1）知BDAD，又BC∥AD，所以BCBD.所以BC平面PBD，BCDE，则DE平面PBC.？摇由PD=AD=1知BD=■，PB=2.根据DE·PB=PD·BD，得DE=■，即棱锥D-PBC的高为■.

（2012北京卷文）如图3甲，在RtABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图3乙.

（1）求证：DE∥平面A1CB；

（2）求证：A1FBE；

（3）线段A■1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由.

思索证明空间中的线线垂直可转化为证明线面垂直.考查直线与平面平行、直线与平面垂直关系的相互转化，考查空间想象能力和推理论证能力.

破解（1）略.

（2）由已知得ACBC，且DE∥BC，所以DEAC.所以DEA■■D，DECD，所以DE平面A■1DC，所以DEA1F.又A■1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A■1FBE.

（3）线段A1B上存在点Q，可使A1C平面DEQ.理由如下：如图4，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由（2）知，DE平面A■1DC，所以DEA■1C，又P是等腰三角形DA■1C底边A■1C的中点，所以A■1CDP.因为DE∩DP=D，所以A■1C平面DEP，从而A■1C平面DEQ.故线段A■1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.

垂直与平行篇2

一、教学内容分析

本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。任何定义都有充分必要性，线面垂直的定义既是线面垂直最基本的判定方法，又是它的重要性质，也是探究线面垂直判定定理的前提。线面垂直作为空间垂直关系转化的纽带，是后续学习面面垂直的基础，是证明异面直线垂直关系的重要方法，也是构建线面角、二面角的平面角的重要因素。所以，本节课在高中立体几何教学中具有重要的地位和作用。

根据课程标准，线面垂直判定定理的严格证明不在本节课进行，而是安排在选修系列2中进行，这样既降低了教学难度，又符合学生的认知规律。在遵从教材主体内容结构不变的情况下，为了增加课堂容量，节省课时，我对课本中的一些细节做了如下

调整：

拓展了“折纸实验”的作用，在教师引导下，学生用课前自制的三角形纸片做“折纸实验”，发现事实后，进入第一道例题的

教学。

例1：如图，AD是ABC的高，沿AD将ABC折起，求证：AD平面BCD.

“折纸实验”是教材内容的一部分，教材是用它来发现线面垂直的判定定理，而我把它设计成先发现线面垂直的事实，后重点运用判定定理来证明。有模型的支撑，大大降低了题目难度，且使学生初步感受到“翻折类问题”的特点。

改编了课本中的习题，渗透证明“异面直线垂直”的重要方法。

原题：如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VBAC.

例2（改编）：如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，点O是AC的中点，求证：（1）AC平面VOB.（2）VBAC.

题目由课本P67练习1改编而来，原题直接要求证明异面直线垂直，学生没有学习经验，无论是思路还是辅助线学生都不易想到。鉴于此，我以增加设问的方式降低难度台阶，在进一步巩固判定定理运用的基础上，最终达到渗透证明“异面直线垂直”的

方法。

调整了例题的呈现顺序，深化学生对“平行线传递性”的理解。

例3：如图，已知a∥b，aα，求证：bα.

题目选自课本上的例1，表面看似简单，实际上既可以用判定定理来证明，又可以用定义来证明，题目重在体现平行线的传递性，有一定难度，所以调整为最后一道例题。

基于以上分析，我将本节课的教学重点确立为：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

二、学生情况分析

学习本节课之前，学生已经学习了空间点、直线、平面的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，有一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证的能力，基本具备了学习本节课的知识、方法和能力。

可是，完全理解线面垂直的定义有一定难度，同时，学生不易自我发现线面垂直的判定定理。鉴于此，我将本节课的教学难点确立为：线面垂直定义的理解与判定定理的发现。

为了突破上述第一个难点，我将平面内的直线以是否过垂足分为两类，利用平行线的传递性很好地解释了平面的垂线与平面内不过垂足的直线的垂直关系。为了突破第二个难点，直接切中要害来分析利用定义证明线面垂直的弊端，需要涉及平面内所有直线很难实现，那么探究的方向自然是选“直线中的代表”，减少所需直线的条数，从一条直线开始探究。多媒体辅助教学在突破难点上起着不容忽视的作用。

三、教学目标设计

根据课程标准给出的学习目标，再结合学生的实际情况，确立本节课的三维教学目标为：

1.能抽象概括出直线与平面垂直的定义，并正确理解该定义；能归纳总结出直线与平面垂直的判定定理，并掌握运用该定理证明一些空间位置关系的简单命题。

2.经历从“形象到抽象”的认知过程，从“简单到复杂”的探究过程，体会过程中所蕴含的化归转化、分类讨论、类比等数学思想方法。

3.进一步感受“欧氏几何”学解决问题的特点。

四、教学策略设计

根据本节课的教学内容，我选择以学生熟悉的生活现象创设情景导入，激发学生对即将学习知识的兴趣；然后以探究线面垂直的判定定理为最终目标，设置大量层层递进的“问题串”，引领学生通过选择性学习（听老师的点拨，同学的表达）、参与性学习（亲自参与活动）、合作性学习（与同学、老师交流）等活动逐步领会线面垂直的定义并发现判定定理。知识的运用通过自主性学习（自己解决例题）活动完成，而非完全模仿性练习。整个教学过程中，以引导探究和教师讲授相结合的教学方法为主，穿插讨论法、演示法等其他教学方法。

以上是我对本节课部分重要环节的认识，在这样的认识和分析的支撑下我将完成本节更重要的一部分，即教学设计。

参考文献：

垂直与平行篇3

【关键词】三垂线定理；应用

三垂线定理因其联系着一系列主要概念，包括平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影等，而且其证明中包含着较为典型的线面垂直与线线垂直证法，而成为立体几何中的一个很重要的定理.同时在解决空间的角和距离及其直线与直线垂直问题时，应用三垂线定理及其逆定理，对于培养学生空间想象力和逻辑思维能力，有着更加重要而独到的作用.因此在立体几何教学中，必须引导学生正确理解和掌握三垂线定理，充分发挥三垂线定理在解决空间图形问题的作用.

一、三垂线定理的解读

三垂线定理是在线面垂直基础上来研究直线间垂直关系的重要定理，不仅阐明了平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影和平面内的一条直线的某种位置关系的内在联系，并有效沟通了线线关系和线面关系.

1.三垂线定理的本质特征

（1）定理描述

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理：在平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直.

（2）图形模型

图1（如图1）设PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，OA是PA在平面α内的射影，aα，且aOA，则aPA.

（3）本质特征

垂线定理及其逆定理描述的是斜线、射影和平面内直线之间的垂直关系，实质是空间两条直线垂直的判定，把空间垂直转化为相交垂直.斜线及其斜线在平面内的射影与这个平面内的直线的垂直关系不变，是三垂线定理及其逆定理的本质特征.

2.构成三垂线定理的元素

从图一可以看出，三垂线定理的图形是由“四线一面”五个元素组成，即垂线PO、斜线PA、射影OA、面内一线直线a和平面α.三垂线定理描述的是三种垂直关系：直线和平面垂直，平面内的一条直线与斜线在该平面的射影垂直，这条直线和斜线垂直，这条直线与斜线可能相交，也可能是异面直线.

二、三垂线定理的应用

作为一种较为典型的证题方法，三垂线定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用.在应用三垂线定理时，既要注意三垂线定理图形的多样性，又要注意竖直或倾斜平面上三垂线定理的应用.按照“一定平面，二定垂线，三找斜线，射影就出现”的原则去确认图形，得出所证的垂直关系，其关键是找平面的垂线和斜线在平面内的射影.

1.空间的角和距离问题中的应用

点P到DC，BD的距离分别为413，413901.

题意图形中如果有表示其距离的线段时，只须证明其确为表示距离的线段，再进行计算.如果没有明显表示距离的线段，就要先作出，并用三垂线定理加以证明，再计算.

2.在垂直问题中的应用

三垂线定理及逆定理涉及的是直线与直线的垂直问题，因为直线垂直问题可推出线面垂直问题，进而可导出面面垂直.所以在线面垂直、面面垂直问题中也常用到三垂线定理.因此，在解决垂直问题时，应首先考虑是否能使用三垂线定理.

总之，三垂线定理及逆定理是证明线线垂直，点线距、点面距、线面角的计算及二面角的形成中非常有效的工具，在解决空间图形问题中充分发挥三垂线定理的作用，不仅有助于学生理解掌握定理，而且对于培养发展空间想象能力、推理论证能力有着积极的意义.

【参考文献】

垂直与平行篇4

(江苏省盐城中学，224005)

教师的教学价值取向，是教师在长期的教学实践中形成的，通过教学内容的取舍、教学过程的设计、教学活动的组织、教学语言的运用等途径透射出的教学目标一贯的指向性。在新课程改革的背景下，教师的教学价值取向反映了教师对新课程理念的理解和认同，驱动着教师对“教什么及如何教”的落实和执行，并表现出巨大的差异性。

笔者最近在一所高中随堂观摩了多位数学教师所上的《直线与平面垂直》一课。其中，三位教师的教学导入使用了同样的素材，但呈现出的过程却并不相同，透射出的价值取向也存在较大的差异。下面，笔者重点整理他们的导入设计，来比较分析他们的教学价值取向，并反思新课程理念的落实和执行状况。

【教师甲】

问题1：直线和平面有几种位置关系？

问题2：对直线和平面平行，主要学习了哪些内容？

问题3：直线和平面相交中，最特殊的一种位置关系是什么？

演示1：用幻灯片展示图1(旗杆与地面）、图2（桥柱与水面）。

问题4：我们应该研究直线与平面垂直的哪些知识以及如何来研究？

问题5：如何定义直线与平面垂直？

演示2：用幻灯片演示直角三角形绕一直角边旋转形成圆锥的过程。

问题6：圆锥的轴线与底面圆所在平面上的任意一条直线是什么关系？

问题7：根据刚才的观察和分析，你能概括出直线与平面垂直的定义吗？

问题8：能否把直线与平面垂直定义中的“任意”改成“无数”？

活动1：请大家将笔在桌面上摆放，观察直线与平面的垂直关系。

演示3：把三角板的一条直角边贴在桌面上并倾斜三角板，说明另一条直角边跟桌面上的多条直线垂直。

教师甲的引入，先在引领学生复习“直线与平面平行”的主要知识的基础上，提出研究“直线与平面垂直”的教学目标，意在运用“线面平行”的学习过程和方法类比学习“线面垂直”；再运用圆锥的形成过程引领学生感知和理解直线与平面垂直的本质属性，并让学生对笔在桌面的摆放进行观察以概括并完善线面垂直的定义。而且，教师甲在整节课中，不断地把线面垂直与线面平行进行类比，并给学生较多的时间进行思考、实验、表达和讨论，只留一小段时间对“线面垂直”作简单的应用训练。

可见，教师甲的教学价值取向是：发挥学生在课堂学习中的主动性，既注重引领学生进行知识建构，也注重让学生体验和应用解决问题的思想和方法，同时强调对学生思维能力、实践能力、表达能力以及数学素养的长期、渐进的培养。当然，秉持这样的教学风格，会对部分学生短期之内运用知识解题的能力有一定的不利影响——因为解题训练不足。

【教师乙】

表述1：前面我们学习了直线与平面平行，今天我们来学习直线与平面的相交中的一种特殊位置关系——直线与平面垂直。演示1：用幻灯片展示图1（旗杆与地面）、图2（桥柱与水面）。

问题1：旗杆与地面，桥柱与水面都给了我们直线与平面垂直的形象，我们还可以举出一些直线与平面垂直的形象吗？

表述2：如何定义直线与平面垂直？我们可以观察圆锥的轴线和底面的关系。

演示2：用幻灯片展示已画出轴截面的圆锥直观图。

问题2：……由圆锥的形成过程，我们可以看到圆锥的轴线与底面上任意一条直径所在的直线垂直，那么轴线是否和底面上的任意一条直线垂直呢？

问题3：谁能由刚才所观察的圆锥轴线和底面的关系概括出直线与平面垂直的定义？

问题4：能否把直线与平面垂直定义中的“任意”改成“无数”？

演示3：把三角板的一条直角边贴在桌面上并倾斜三角板。

问题5：谁能说明另一条直角边跟桌面上的多条直线垂直？

教师乙的引入，直接明确教学的知识目标，在通过实例感知“线面垂直”后再运用圆锥的特征进一步分析线面垂直的本质属性，运用三角板和桌面演示完善线面垂直的定义。而且，教师乙在整节课中，提出问题后，往往只给学生较短的时间思考，就自行回答或让学生集体回答，这使教学内容推进比较快，为后面的知识运用环节节省了一定的时间；在知识应用的环节，除了让学生练习了几道“线面垂直”判断题之外，还讲解了一道“线面垂直”证明题、一道“异面直线垂直”证明题，这使“线面垂直”的主要应用得到了比较全面的展现。

可见，教师乙的教学价值取向是：注重让学生系统地理解和接受数学知识，强调让学生能较快地应用所学知识解决问题，即在“知识建构”和“解题能力”之间采取平衡的态度。秉持这样的教学风格，能让部分基础薄弱的学生在课堂上得到比较充足的解题训练，从而尽快提升他们的解题能力，增强他们学习数学的信心。

【教师丙】

演示1：用幻灯片展示图1(旗杆与地面)、图2（桥柱与水面）。

问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

问题2：旗杆与地面、桥柱与水面都给了我们直线与平面垂直的形象，那么直线与平面垂直的定义是什么呢？

表述1：直线与平面垂直的定义是……

表述2：一条直线能和一个平面内的任意一条直线都垂直吗？我们一起来观察圆锥轴线和底面的关系。

演示2：用幻灯片展示已画出轴截面的圆锥直观图。

表述3：……圆锥轴线和底面上的任意一条直线垂直。

问题3：能否把直线与平面垂直定义中的“任意”改成“无数”？

演示3：把三角板的一条直角边贴在桌面上并倾斜三角板，说明另一条直角边跟桌面上的多条直线垂直。

教师丙的引入，直接由实例得到“线面垂直”的概念，给出“线面垂直”的定义，然后再运用圆锥的特征解释“线面垂直”的本质属性，运用三角板和桌面演示解释定义表达的精确性。而且，教师丙在后续的教学中，把“线面垂直”和平面上的“线线垂直”进行了适当的类比，并结合幻灯片的运用，进一步加快了教学内容推进的速度，为知识应用的环节留下了更多的时间，从而比教师乙多讲解了一道转化次数较多的“线面垂直”问题。

可见，教师丙的教学价值取向是：注重让学生在理解的基础上，尽快地接受数学知识，建立主要的知识结构，而不需要面面俱到，强调让学生能尽快地应用所学知识解决问题，并重点对学生进行解题训练。秉持这样的教学风格，能让学生尽快地接触到考试中与所学知识相关的典型问题，明确知识的主要应用方向，以便学生后续的自我训练更有目的性，从而在短期内提高学生的考试成绩。

垂直与平行篇5

1.下列说法中,正确的有(

)

①斜率均不存在的两条直线可能重合;

②若直线l1l2,则这两条直线的斜率的乘积为-1;

③若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直;

④两条直线l1,l2中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1l2.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.已知直线方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,则l1与l2的关系(

)

A.平行

B.重合

C.相交

D.以上答案都不对

3.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为(

)

A.(2,0)

B.(0,2)

C.(0,1)

D.(1,0)

4.直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,则a的值为(

)

A.2

B.±2

C.2

D.±2

5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两个根,若l1∥l2,则b=

.

6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,则a的值为

.

7.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为

.

8.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:

(1)倾斜角为135°;

(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;

(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.

能力达标

9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=-2bx+1与直线l1平行,则a+b等于(

)

A.-4

B.-2

C.0

D.2

10.已知直线l1:xsin

α+y-1=0,直线l2:x-3ycos

α+1=0.若l1l2,则sin

2α=(

)

A.35

B.-35

C.23

D.-23

11.过点A0,73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于(

)

A.-3

B.3

C.-6

D.6

12.直线l1与l2满足下列条件,其中l1∥l2的是(

)

①l1的斜率为2,l2经过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A点;

②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点;

③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

13.直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是(

)

A.0或3

B.-1或3

C.0或-1或3

D.0或-1

14.(2022甘肃武威八中高二月考)已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为

.

15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为

,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为

.

16.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.

(1)l1l2,且直线l1过点M(-4,-1).

(2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数.

17.如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BEAC,求证:CFAB.

解由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-pb,

1.下列说法中,正确的有(

)

①斜率均不存在的两条直线可能重合;

②若直线l1l2,则这两条直线的斜率的乘积为-1;

③若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直;

④两条直线l1,l2中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1l2.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案C

解析斜率均不存在的两条直线可能平行,也可能重合,故①正确,两直线垂直,有两种情况:当两条直线都有斜率时,斜率乘积为-1;也可以一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,故②错误,③④正确.

2.已知直线方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,则l1与l2的关系(

)

A.平行

B.重合

C.相交

D.以上答案都不对

答案A

解析直线l1的斜率k1=12,

直线l2的斜率k2=12,

k1=k2.

两条直线在y轴上的截距分别为74和52,不相等,

l1与l2互相平行.

故选A.

3.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为(

)

A.(2,0)

B.(0,2)

C.(0,1)

D.(1,0)

答案B

解析设l2与y轴交点为B(0,b).

直线l1过A(1,1),O(0,0),

kOA=1.

l1l2,kOA·kAB=-1,

即kAB=b-10-1=-1,

解得b=2,即l2与y轴交点的坐标为(0,2).

4.直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,则a的值为(

)

A.2

B.±2

C.2

D.±2

答案D

解析直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,显然a≠0,-12a=-a4,52a≠-12,即a2-2=0,a≠-5.

解得a=±2,

故选D.

5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两个根,若l1∥l2,则b=

.

答案-98

解析由根与系数的关系可知k1+k2=32,k1·k2=-b2,

l1∥l2,k1=k2=34,

解得b=-2k1·k2=-98.

6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,则a的值为

.

答案0或5

解析当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时直线l2的斜率k2=0,则l1l2,满足题意.

当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=3-aa-2-3=3-aa-5,k2=a-2-3-1-2=a-5-3.

由l1l2,知k1k2=-1,即3-aa-5×a-5-3=-1,解得a=0.综上所述,a的值为0或5.

7.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为

.

答案(3,-6)

解析设D(x,y),由题意可知,AB∥CD且AD∥BC,

kAB=kCD且kAD=kBC,

3-1-2-1=y+4x,-4-30+2=y-1x-1,解得x=3,y=-6.

8.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:

(1)倾斜角为135°;

(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;

(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.

解(1)由kAB=m-32m2=tan

135°=-1,

解得m=-32或m=1.

(2)由题意kAB=m-32m2,且-7-20-3=3,

则m-32m2=-13,解得m=32或m=-3.

(3)令m-32m2=9+3-4-2=-2,

解得m=34或m=-1.

能力达标

9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=-2bx+1与直线l1平行,则a+b等于(

)

A.-4

B.-2

C.0

D.2

答案B

解析直线l的斜率为-1,则直线l1的斜率为1,

kAB=2-(-1)3-a=1,a=0.

由l1∥l2,得-2b=1,得b=-2,所以a+b=-2.

故选B.

10.已知直线l1:xsin

α+y-1=0,直线l2:x-3ycos

α+1=0.若l1l2,则sin

2α=(

)

A.35

B.-35

C.23

D.-23

答案A

解析l1l2,sin

α-3cos

α=0,即tan

α=3.

sin

2α=2sin

αcos

α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=610=35.

11.过点A0,73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于(

)

A.-3

B.3

C.-6

D.6

答案B

解析由题意知l1l2,kl1·kl2=-1,

即-13k=-1,解得k=3.

12.直线l1与l2满足下列条件,其中l1∥l2的是(

)

①l1的斜率为2,l2经过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A点;

②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点;

③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

答案D

解析由斜率公式,①中,直线l2的斜率也为2,故l1∥l2;②中,直线l1的斜率也为0,故l1∥l2;③两条直线的斜率均为12,且两直线没有公共点,故l1∥l2.故选D.

13.直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是(

)

A.0或3

B.-1或3

C.0或-1或3

D.0或-1

答案D

解析两直线没有公共点,1×3a-a2(a-2)=0,

a=0或-1或3,经检验知a=3时两直线重合,a=0或a=-1时,两直线平行.

14.(2022甘肃武威八中高二月考)已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为

.

答案(0,-6)或(0,7)

解析设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以APBP.又kAP=y+52,kBP=y-6-6,kAP·kBP=-1,所以y+52·y-6-6=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7).

15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为

,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为

.

答案(-4,-1)x-y+3=0

解析设Q(a,b),则b-5a-2·(-1)=-1,a+22+b+52=1,解得a=-4,b=-1.

即点Q的坐标为(-4,-1),设与直线x+y-3=0垂直的直线方程为x-y+c=0,将Q(-4,-1)代入上式,得c=3,所以直线方程为x-y+3=0.

16.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.

(1)l1l2,且直线l1过点M(-4,-1).

(2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数.

解(1)l1过点M(-4,-1),-4a+b+4=0.

l1l2,a×(1-a)+b=0.

a=1,b=0或a=4,b=12.

(2)由题意可得两条直线不可能都经过原点,

当b=0时,两条直线分别化为ax+4=0,(a-1)x+y=0,

可知两条直线不平行.

b≠0时两条直线分别化为

y=abx+4b,y=(1-a)x-b,

ab=1-a,4b=b,

解得b=2,a=23或b=-2,a=2.

17.如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BEAC,求证:CFAB.

解由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-pb,

由点A(0,a)和点C(c,0),知直线AC的斜率为-ac,

因为BEAC,所以-pb-ac=-1,

即pa=-bc;

由点C(c,0)和点P(0,p),知直线CP的斜率为-pc,由点A(0,a)和点B(b,0),知直线AB的斜率为-ab,

垂直与平行篇6

【关键词】下斜肌转位术；分离性垂直斜视；手术疗效分析

本文将对本院2009年1月1日-2012年6月30日前来就诊的60例分离性垂直斜视患者进行临床分组研究，探讨三种不同下斜肌转位术治疗分离性垂直斜视患者的临床治疗效果，以提高患者临床疗效与生活质量，现报告如下。

1资料与方法

1.1一般资料

选择本院2009年1月1日-2012年6月30日前来就诊的60例分离性垂直斜视患者，按照垂直斜视度数的大小分为三组，采用不同手术方式，即A组（垂直斜视度小于5度）、B组（垂直斜视度数小于10度）、C组（垂直斜视度数大于10度）。A组26例分离性垂直斜视患者中男16例，女10例，年龄18～51岁，平均（37.6±1.1）岁，单眼4例，双眼22例，单纯性上斜视21例、合并外斜视4例、合并内斜视1例；B组19例分离性垂直斜视患者中男13例，女6例，年龄19～49岁，平均（38.1±1.0）岁，单眼3例，双眼16例，单纯性上斜视17例，合并外斜视1例，合并内斜视1例；C组15例分离性垂直斜视患者中男10例，女5例，年龄18～49岁，平均（37.9±1.2）岁，单眼2例，双眼13例，单纯性上斜视11例，合并外斜视3例，合并内斜视1例。A、B、C组分离性垂直斜视患者在性别、年龄、患病眼分布、斜视类型、教育背景以及社会经历等方面差异无统计学意义（P>0.05），具有可比性。

1.2方法

所有患者术前进行常规检查，内容包括视力检查、立体视觉功能、眼底、眼压、屈光状态、视远与视近斜视角度、眼球运动等。三组患者均在局部麻醉下采用不同的手术方法进行治疗。术后对患者进行垂直斜度及下斜肌亢进改善程度检查，并对其进行六个月随访，对检查结果进行统计学分析，得出结论。

1.2.1单纯下斜肌转位术（A组）

手术切口位于患者颞下方近穹窿部球结膜处，将患者下斜肌暴露在手术视野下，在外下直肌之间将下斜肌肌腹勾出，使周围筋膜组织分离，用可吸收线将患者肌肉进行双套环缝线，在缝线处颞侧将下斜肌剪断，并检查是否出现残留肌肉，将下直肌勾出，将附着点暴露，将下斜肌鼻侧断端进行缝合，将其固定在下直肌附着点颞侧缘巩膜处，与下直肌平行。

1.2.2下斜肌截除联合转位术（B组）

对患者进行手术切口及分离下斜肌方法与单纯下斜肌转位术相同。将下斜肌进行剪断，之后截除五毫米肌肉，在下直肌附着点颞侧缘的巩膜上将下斜肌缝线固定，与下直肌平行。

1.2.3下斜肌截除联合转位并前徙术（C组）

对患者进行手术切口及分离下斜肌方法与单纯下斜肌转位术相同。将下斜肌剪断，之后将5mm肌肉截除，在下直肌附着点颞侧缘前1～3mm的巩膜上将下斜肌缝线固定，患者出现合并水平斜视，则应同期进行水平斜视矫正措施。

1.3疗效评级标准

良好：分离性垂直斜视患者经手术治疗后，在保持双眼注视的状态下，未出现第一眼位明显的垂直性分离情况，垂直斜视度小于5度；好转：分离性垂直斜视患者经手术治疗后，在保持双眼注视的状态下，出现第一眼位明显的垂直性分离情况，但此类情况出现频率较低，或较治疗前出现频率明显减少，且未对患者外观造成影响，垂直斜视度数小于10度；无效：分离性垂直斜视患者经手术治疗后，在保持双眼注视的状态下，出现第一眼位明显的垂直性分离情况，且患者出现频率与术前无变化甚至增加，垂直斜视度数大于10度。

1.4统计学处理

采用SPSS13.0统计学软件包对数据进行统计学分析，计量资料以（x±s）表示，比较采用t检验，计数资料采用字2检验，以P

2结果

所有患者在术后对其进行垂直斜度及下斜肌亢进改善程度检查，随访六个月，对检查结果进行统计学分析。结果显示，A、B、C组分离性垂直斜视患者经不同手术方法进行治疗后，总有效率分别为88.46%、89.47%、93.33%，组间比较差异无统计学意义（P>0.05）。详见表1。

3讨论

分离性垂直斜视，是临床上较为特殊的斜视类型，其具体发病原因目前尚不明确，患者双眼出现交替遮盖时被遮盖眼呈现出上斜视状态[1-4]。临床主要治疗方法为手术措施[5，6]。

研究表明，对分离性垂直斜视患者进行单纯下斜肌转位术、下斜肌截除联合转位术、下斜肌截除联合转位并前徙术三种方法治疗，其治疗效果对比无统计学差异，但进行单纯下斜肌转位手术治疗的患者术后未出现明显睑裂变化以及上转受限情况，而进行下斜肌截除术治疗后，部分患者出现睑裂变小或眼球上转受限等并发症。

若分离性垂直斜视患者原在位垂直斜度为15～25度，且同时伴有下斜肌功能亢进，此时宜采取单纯下斜肌转位术对其进行治疗[7-11]。

分离性垂直斜视合并水平斜视明显时，先治斜视更明显者，先做不易定量的肌肉，后做定量容易的肌肉。因此，在分离性垂直斜视合并水平斜视时，可根据斜视角的大小合理设计手术，应注意垂直眼位矫正后对水平眼位的影响，上直肌后徙有减轻内转作用，而下斜肌转位有加强内转作用，所以在设计水平斜视手术量时要充分考虑到这点[12-15]。

术前应反复检查眼位，眼球运动等，单纯分离性垂直斜视，可行上直肌大量后徙；分离性垂直斜视合并下斜肌亢进，首先考虑下斜肌后徙转位术；如双眼程度不等，也应双眼同时手术，以免术后双眼再次出现不对称，致斜视复发[4-10]。

由本文可知，分离性垂直斜视患者双眼对称性的行下斜肌的减弱手术，不论采取什么手术方式，术后的眼裂变化及上传受限对外观影响并不明显。而对于双眼非对称性的下斜肌手术术后引起的眼裂大小变化和上传受限就很明显，应尽量避免。

因此，对于分离性垂直斜视患者进行临床手术治疗时，应根据患者实际情况选择手术方法，从而达到更为有效的治疗效果，提高患者生活质量。

参考文献

[1]甘晓玲，李巧娴，郭静秋.分离性垂直斜视的手术治疗[J].中国斜视与小儿眼科杂志，2010，8（4）：145-146.

[2]梁敦，胡春生，何伟.6例分离性垂直性斜视临床报告[J].眼科，2011，12（1）：38-40.

[3]贾惠莉，刘春民，邓宏伟，等.下斜肌转位术治疗分离性垂直斜视[J].中国实用眼科杂志，2011，29（9）：934-936.

[4]石荣先，方亚非，张建华，等.下斜肌截除及前转位术治疗大度数垂直斜视临床分析[J].中国实用眼科杂志，2010，28（9）：1031-1033.

[5]黄蔚茹.水平肌移位术治疗水平斜视并伴垂直斜视的临床效果观察[J].临床眼科杂志，2012，20（1）：55-57.

[6]韩二营，于世辉，李月礼.分离性垂直斜视手术治疗的临床观察[J].国际眼科杂志，2012，12（4）：726-727.

[7]郎丽娟，杨国渊，刘陇黔.分离性垂直斜视的临床表现及手术治疗[J].四川医学，2011，32（5）：658-660.

[8]王伟.43例分离性垂直斜视手术治疗临床观察[J].中国实用医药，2011，6（2）：82-83.

[9]许兆民.下斜肌前转位术治疗伴有下斜肌功能亢进的垂直分离性斜视[J].中国社区医师：医学专业，2010，12（21）：88.

[10]诸力伟，许国忠，杨莅，等.分离性垂直斜视的手术治疗[J].浙江医学，2010，32（2）：261-263.

[11]王漫.分离性垂直偏斜的手术治疗[J].眼外伤职业眼病杂志，2001，23（6）：91-93.

[12]韩爱军.改良的下斜肌前转位术治疗伴有下斜肌功能亢进的垂直分离性斜视[J].国际眼科杂志，2011，11（7）：1146-1148.

[13]蔡丽，弭岚，窦禹，等.分离性水平斜视的临床特征和手术治疗[J].中国斜视与小儿眼科杂志，2012，20（4）：2415-2419.

[14]李丽，戴兵，贾延磊，等.下斜肌转位术治疗垂直性斜视手术前后立体视功能分析[J].中医临床研究，2013，20（5）：5218-5220.