概率论范文

在教学内容的选编中，所选内容应突出“厚基础”“重应用”的应用型特色。综合考虑学生的就业方向，侧重论述概念、方法、原理的历史背景和现实背景在金融等方面的应用，对于冗长难懂的理论证明可以用直观易懂的现实背景来解释。例如讲解全概率公式时，学生虽可以比较容易地应用，但不容易理解公式的本质，所以并不觉得引入这些公式有什么必要性，大大降低了学生的学习兴趣。但如果在课堂引入“敏感事件调查”这个例子，会对经管类的文科学生具有很强的吸引力，从而为学生提高市场调查和问卷设计能力提供有益借鉴。在介绍贝叶斯公式时，可以根据经管类专业，引入贝叶斯公式应用在风险投资中的例子。在介绍期望的概念时，从游戏介绍概念来源的背景，再将期望用到实际生活中去，可以引入其在投资组合及风险管理等方面的应用。这样能使学生真正理解概率论中许多理论是取之于生活而用之于生活，并能自觉将理论运用到生活中去。在介绍极大似然思想时，可以从学生和猎人一起打猎的案例进行引入。

2设计趣味案例，激发学生学习兴趣2015年1月5日

随着互联网的迅猛发展、电脑的普及、各种游戏软件的开发，很多大学生喜欢在网上玩游戏。教师可以抓住大学生爱玩游戏这一特点，况且概率论的起源就来源于游戏，教师可以在讲授知识时，由一个游戏出发，循循诱导学生从兴趣中学到知识，再应用到生活中去。例如，在讲解期望定义时，可以设计这样的一个游戏案例:假设手中有两枚硬币，一枚是正常的硬币，一枚是包装好的双面相同的硬币(即要么都是正面，要么都是反面，在抛之后才可以拆开看属于哪种)。现在让学生拿着这两枚硬币共抛10次，一次只能抛一枚，抛到正面就可以获利1元钱，反面没有获利，问学生选择怎样一种抛掷组合，才能使预期收益最大?教师留给学生思考的时间，然后随机抽一位同学回答，并解释其理由。大部分学生选择先抛后面那枚硬币，如果发现两面都是正面，那么后面9次都抛这枚，如果是反面，那后面9次都抛前面那枚硬币。这种抛掷组合确实是最优的，但总是说不清其中的道理来。这时教师可以向学生解释，其实大家在潜意识中已经用到了期望，然后利用期望的定义为大家验算不同抛掷组合的期望值来说明大家选的组合确实是最优的，这时学生豁然开朗，理解了期望的真正含义。游戏可以继续，如果将若干个包装好的非正常硬币装入一个盒子里，比如将5枚双面都是反面的、1枚双面都是正面的硬币装入盒子里，学生从中摸一个硬币出来，再和原来那枚正常的硬币一起共抛10次，也可以选择不摸硬币，直接用手中正常硬币抛10次。这个时候，原来那种抛掷组合还是最优的吗;如果再改变箱子中两种硬币的比例，比如9枚双面是反的，1枚双面都是正的，结果又是怎样等等，这些问题可以留给学生课后思考，并作为案例分析测试题。按照上述设计教学案例，不仅让学生轻松学到知识，激发学生学习的能动性，还可以提高学生自己动手解决实际问题的能力，培养学生的创新能力。

3精选实用型案例，引导学生学以致用

如在讲解全概率公式时引入摸彩模型，中奖的概率是否与抽奖的先后顺序有关。利用全概率公式可以证明与顺序无关，大家机会是平等的。又如讲解事件独立性可以引入比赛局数制定的案例，如果你是强势的一方，是采取三局两胜制还是五局三胜制，这个例子也可以用大数定理来解释，n越大，越能反映真实的水平。又如设计车门高度问题，公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0．01以下来设计的:设某地区成年男性身高(单位:cm)X～N(170，36)，问车门高度应如何确定?这个用正态分布标准化查表可解决。合理配备维修工人问题:为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费，配备少了又要影响生产)，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0．01。在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况)，问至少需配备多少工人，才能保证设备发生故障不能及时维修的概率小于0．01?这样的问题在企业和公司经常会出现，我们用泊松定理或中心极限定理就可以求出。学生参与到实际问题中去，解决了问题又学到了知识，从而有成就感，学习就有了主动性。

4运用多媒体及统计软件进行经典案例分析

在概率统计教学中，实际题目信息及文字很多，需要利用统计软件及现代化媒体技术。其一，采用多媒体教学手段进行辅助教学，可以使教师节省大量的文字板书，避免很多不必要的重复性劳动中，从而教师就可以将更多的精力和时间用于阐释问题解决的思路，提高课堂效率和学生学习的实际效果，有效地进行课堂交流。其二，使用图形动画和模拟实验作为辅助教学手段，可以让学生更直观地理解一些抽象的概念和公式。如采用多媒体教学手段介绍投币试验、高尔顿板钉实验时，可以使用小动画，在不占用过多课堂教学时间的同时，又能增添课堂的趣味性。而在分析与讲解泊松定理时，利用软件演示二项分布逼近泊松分布，既形象又生动。如果在课堂教学中使用Mathematica软件演示大数定律和中心极限定理时，就可将复杂而抽象的定理转化为学生对形象的直观认识，以使教学效果显著提高。在处理概率统计问题过程中，我们经常会面对大量的数据需要处理，可以利用Excel，SPSS，Matlab，SAS等软件简化计算过程，从而降低理论难度。不仅如此，在教师使用与演示软件的过程中，学生了解到应用计算机软件能够将所学概率论与数理统计知识用于解决实际问题，从而强烈激发学生学习概率知识的兴趣。

5结合实验教学，培养学生应用技能

概率论范文

研究性学习的历史可谓源远流长，最早的萌芽出现于我国孔子的因材施教与苏格拉底的“产婆术”．19世纪末至20世纪初，杜威在芝加哥大学率先倡导“LearningByDoing”的理念并付诸实验研究性学习，即通过与研究相类似的认知方式和心理过程来了解、接受、理解、记忆和应用人类已有知识或认知的认知活动［1］．在高等教育中，研究性学习是指学生通过研究性的方式提出、理解和解决问题，并在此过程中形成学习能力、创造能力与相关专业精神的活动．正如2000年教育部的《关于实施“新世纪高等教育教学改革工程”的通知》所言，当前高等教育改革的根本课题，就是反思以知识注入为特征的本科教学传统，重建以学生主动学习和创造性学习为灵魂的现代本科教学模式．高等教育质量的核心是教学质量．因此，提倡主动学习和创造性学习，蕴含着新的知识观、课程观、教学观和学习观的研究性学习，就应该而且可以成为我国本科教学改革的一种重要甚或主导性模式．对于理论知识较为深奥的理科课程，学生比较容易陷入枯燥的理论证明的漩涡而害怕，从而失去对课程学习的热情及兴趣．众所周知，兴趣是最好的老师，如何调动学生在学习过程中的积极性与学习热情将是学习成功的一个至关重要的因素．所以研究改变学生的被动学习状态为主动学习状态，让学生从被灌输者变为主动思考者，以达到大大提高学生的学习效率的研究性学习教学模式很有必要，也必将成为高等教育改革实施的重要方向之一．

2研究性学习方法

本文将以工科《概率统计》课程为例，从以下四方面着手来引导学生学习的主动性以及学习热情，第一个方面是引导学生运用逆向思维思考问题；第二个方面是启迪学生运用发散思维思考问题，这样可以让学习跳出思维的定势，培养学生的多角度的思考问题的习惯；第三个方面是进行基于Matlab的验证学习．概率统计实际上是源于生活的一门课程，从定理到习题处处可以在实际生活中找到原型，很多习题也是源于实际问题，学生自己通过将课本中的一些较为容易实现的理论环节进行实验编程验证，可以让学生理论联系实际从而对课程有更加深刻的认识与理解；第四方面是基于实际问题的教学，将实际问题引入课堂教学以及课外实践活动能让学生理论联系实际，对学习知识点有更加深刻的理解，同时也易于学生运用所学知识解决实际问题．

2．1逆向思维

训练逻辑思维的一个有效的方法是进行逆向思维，逆向思维有利于学生更加深刻认识事物或现象本质，避免对问题或概念仅停留在表面上，通过正反两方面思考，达到融会贯通，举一反三，真正掌握所学知识点．下面例1将通过正反两方面来对问题进行求解．由例1可以看到通过逆向思维的求解得到和正向思维求解同样的结果，而通过逆向思维求解可以使学生加深对知识点的理解，这样可以让学生对全概率公式运用的更加熟悉，理解的更加透彻，也能更加激发学生主动学习的热情与兴趣，从而有利于学生更加灵活的运用知识点解决问题．

2．2发散思维

对于概率统计学习中的很多问题其求解方法可以有多种，这些方法往往蕴含着不同的思考问题的角度，发散性思维就是要从与常规不同的角度来解决问题．新颖的思考问题角度往往能给问题的求解带来意想不到的效果，从而能达到锻炼学生思维的广度，启迪思维的目的．通过例2可以看到，解法一通过微观的角度细致分析所求事件发生的每一种可能性，解法二从另外一个较为宏观的角度整体考虑两个事件发生的概率的关系从而进行求解，对问题的理解和把握要求更高．从另外一个角度来看，两种解法相互关联，思考问题角度互为补充，从而有利于锻炼学生思维的弹性与延展性，更加灵活的对问题进行求解．

2．3基于Matlab的验证学习

Matlab语言是国际科学领域应用和影响最广泛的三大计算机数学语言之一，在很多领域Matlab语言是科学研究者首先选用的计算机数学语言．它是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能于一体的图形化语言，问题的提出和解答只需以数学方式表达，不需大量原始的编程过程，易学、适用范围广、功能强、开放性强、网络资源丰富［2］．另外Matlab程序限制不严格，程序设计自由度大．例如，在Matlab里，用户无需对矩阵预定义就可使用，程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行．使用它可以很容易实现和验证高等数学、概率统计等大学课程所讲述的内容．唯物主义的哲学观告诉我们学习要理论联系实际，理论要在实践中得到检验才算是真理，在实践中得到检验的真理才更加有生命力，才能更加被人所铭记．《概率统计》课程作为理工科课程需要学习很多的定理证明，然而概率统计是源自于生活的一门学问，最早源于问题［3］，概率中的很多例题以及命题都可以在实际问题中找到对应的原型，并加以证明，下面以“抓阄问题”［4］的实验证明来说明：由频率与概率之间的关系，随着实验次数的增加频率应该越来越接近概率，从实验结果可以看到三个人抓到“有”字阄的频率十分接近，随着实验的次数增加均越来越接近1／3，这样正好可以让学生更好的理解频率和概率之间的关系．

2．4基于实际问题的教学

概率统计与实际生活的紧密联系决定了在课堂教学中可以引入与实际生活联系比较紧密或学生比较感兴趣的问题作为讲解范例，这样更有利于调动学生积极性，提高其学习的兴趣．比如在古典概率部分可以引入如下学生感兴趣的“生日问题”：

概率论范文篇3

Abstract：BasedonnBernoullimodel，usingthelimitdistribution，itdiscussestherelationshipofthebinomialdistribution，poissondistribution，exponentialdistribution，normaldistribution，resultinginnBernonlliprobabilitythroughprobabilitytutorialconclusion.

关键词：n重贝努里概型；二项分布；指数分布；正态分布；泊松分布；几何分布

Keywords：nBernoullischeme；binomialdistribution；exponentialdistribution；normaldistribution；Poissondistribution；geometricdistribution

中图分类号：O21文献标识码：A文章编号：1006-4311（2014）29-0289-02

0引言

n重贝努里概型是概率论中最早研究的模型之一，也是得到最多研究的模型之一，有着广泛的应用价值，诸如在购买股票问题中，设光顾的投资者数为n，n个人中购买股票的人数m，这就是一个n重贝努里概型[1]。在城市燃气管道故障发生概率的研究中，对由n段（2个阀门之间为1段）管道组成的管网是否发生故障进行检测，每段管道检测结果相互不影响，即上一段管道是否故障不会对下一段管道是否故障造成任何影响，且每段管道的检验结果只有故障和不故障两种情况，因而对于由n段管道组成的城市燃气管网，其故障发生的概率满足n重贝努利概型[2]。n重贝努里概型有广泛应用的真正原因在于它是概率论中几乎所有常见分布的根基。

1预备知识

1.1n重贝努里概型如果一个试验中只关心某个事件A是否发生，那么称这个试验为贝努里试验，相应的数学模型称为贝努里模型。

对随机实验中某事件是否发生，试验的可能结果只有两个，这种只有两个可能结果的实验称为贝努里试验。重复进行n次独立的贝努里试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变，“独立”的意思是指是指各次试验的结果是相互独立的，这种试验所对应的数学模型成为贝努里概型。有时为了突出实验次数n，也称为n重贝努里试验。

1.2几何分布若随机变量X的概率分布为pk=P{X=k}=（1-p）k-1p，k=1，2，…，其中0

1.3二项分布若随机变量X的所有可能取值为0，1，…，n且它的概率分布为pk=P{X=k}=C■■p■q■，k=0，1，…，n，其中0

1.4泊松分布若随机变量X的所有可能取值为非负整数，且它的概率分布为pk=P{X=k}=■e■，k=0，1，…，其中λ>0是某个常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P（λ）。

1.5指数分布若随机变量X的概率密度函数为

p（x）=λe-λx，x>00，x？燮0

其中λ>0是某个常数，则称X服从参数为λ的指数分布，记为X～Exp（λ）。

1.6正态分布若随机变量X的概率密度函数为

p（x）=■e■，x∈（-∞，+∞）

其中μ和σ均为常数且σ>0，则称X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2）。

2主要结果

2.1n重贝努里实验与几何分布的关系在n重贝努里实验中，记X为事件A首次发生时的实验次数，则X服从几何分布[3]。几何分布在概率论中的重要性在于它的无记忆性，即：P{X=m+n│X>m}=P{X=n}。

若假定已知前m次试验中都没有出现成功，那么为了首次成功所需等待得试验次数还是服从几何分布，与前面的次数m无关。形象的说，就是把过去的经历都忘记了。无记忆性的实际意义是“没有明显消耗”，故服从几何分布的随机变量常用来表示无明显消耗的这类产品的使用寿命。

2.2n重贝努里实验与二项分布的关系在n重贝努里概型中，记为事件A发生的实验次数，则服从二项分布[3]。

二项分布是最重要的离散型分布之一。

离散型分布的最可能值指的是该随机变量所有取值当中，那些使取值概率达到最大的值，即若任意一个离散型随机变量的概率分布为x■，x■，…，x■，…p■，p■，…，p■，…，pm=max{p1，p2，…}，则xm为此分布的最可能值。可以证明，任何离散型分布的最可能值一定存在，而且至少有一个。[4]一般离散型分布的最可能值不唯一，二项分布中，当（n+1）p为非负整数时，恰有两个最可能值：（n+1）p与（n+1）p-1。

2.3二项分布与泊松分布的关系泊松分布是概率论中最重要的概率分布之一，生活中的许多随机现象服从泊松分布，主要集中在两个领域。其中一个领域是在社会服务系统和生产管理。如公共汽车站单位时间内候车的乘客数，医院单位时间内看病的人数，电话台单位时间内接到呼叫的次数等等。所以在运筹学及管理科学中泊松分布有着广泛的应用。泊松随机变量的元素特征是“稀少事件”发生的个数。例如，宇宙中单位体积内星球的个数，放射性分裂到某区域的质点数，纺织机上的断头数等。[5]

当二项分布中n很大，p很小时，二项分布就变成为泊松分布，所以泊松分布实际上是二项分布的极限分布。

定理1：在n重伯努里试验中，事件A在一次实验中出现的概率为p，记np=λ，若n充分大，p充分小，np=λ大小合适，则有pk=P{X=K}=C■■p■q■≈■e■，k=0，1，…，n。

证明：应用分析知识可知■1-■■=e■

当n很大时，由于

■=1-■…1-■≈1，

1-■■≈1，1-■■≈e■。

pk=P{X=k}=C■■p■q■

=■p■（1-p）■

故=■■■■

=■■■1-■■

≈■e■

在实际计算中，当n？叟100，p？燮0.1，np？燮10时，二项分布就可以利用泊松分布近似计算。当然，n越大，p越小，np=λ大小合适，近似计算越精确。

2.4泊松分布与指数分布的关系[6]我们知道在医院每天看病的人数，公共汽车站上候车的乘客数，电话台接到呼叫的次数，宇宙中单位体积内星球的个数，放射性分裂到某区域的质点数等都可以用泊松分布来描述，且其中的参数λ为单位时间内的平均值，现在如果考察的不是单位时间，而是时间段[0，t]，那么这个平均值是λt，又因为泊松分布具有可加性，所以在[0，t]这段时间内应服从参数为λt的泊松分布。

设事件A在时间[x0，x0+t]内发生的次数X服从参数λt的泊松分布，即：pk=P{X=k}=■e■，k=0，1，…那么两次发生之间的“等待时间”Y应服从什么分布？

设上一次事件A发生时刻为0，显然Y不能为负值，所以当t？燮0时，分布函数F（t）=P（Y？燮t）=0。当t？叟0时，因为在等待时间内A不发生，故分布函数F（t）=P（Y？燮t）=P（X=0）=■e-λt=e-λt。这正是参数为λ的指数分布。故发生的次数服从参数为λt的泊松分布，那么两次发生的时间服从参数为λ的指数分布。指数分布有非常重要的作用，常用来作为各种“寿命”的近似分布。它还有类似于几何分布的无记忆性。

2.5二项分布与正态分布的关系正态分布是概率论中最重要的分布。比如，测量的误差，钢的含碳量，农作物的收获量，人的身高、体重，工厂产品的尺寸：长度、宽度、高度等均近似的服从正态分布。中心极限定理告诉我们，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每一因素起的作用都不太大，则这个指标近似服从正态分布。正态分布有许多优良的性质，是目前为止人们研究最多，也是研究最清楚的一类分布。数理统计中常用的χ2-分布，t-分布，F-分布均可由正态分布派生出来。另外，许多分布在一定条件下可用正态分布来近似，例如，二项分布。

定理2：设随机变量ξn（n=1，2，…）服从参数为n，p的二项分布，则对于任意x，有：

■P■？燮x=Φ（x）=■■e■dt

这是概率论中的拉普拉斯中心极限定理，其证明参考文献[3]。

事实上，在n充分大，p既不接近于0也不接近于l时（实际上最好满足0.1？燮p？燮0.9），用正态分布去近似二项分布，效果就较好。

总之，n重伯努里试验中，所关心事件A在一次试验中发生的概率为p，则所关心事件A首次发生时试验的次数服从几何分布，所关心事件A在n重伯努里试验中总共发生的次数服从二项分布，n充分大，p充分小，np=λ大小合适时，二项分布由泊松分布逼近，n充分大，p既不接近于0也不接近于l时，二项分布由正态分布逼近。由此可见，概率论中最常见的分布都离不开n重伯努里试验，即n重伯努里试验贯穿概率论始终，可以说，n重伯努里试验就是概率论的一条主线。这些仅限于概率论教学内容的研究，而关于n重伯努里试验更广泛的应用价值，需做更进一步的探索。

参考文献：

[1]刘雁鸣，曾华.概率统计分布对股票管理分析研究[J].价值工程，2013，7：314-315.

[2]严铭卿.燃气输配工程分析[M].北京：石油工业出版社，2005.

[3]刘文安.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]王玉孝，姜炳麟，汪彩云.概率论、随机过程与数理统计[M].北京：北京邮电大学出版社，2008.