对数学教育的认识和理解篇1

在新课改的要求下，数学史逐渐融入小学数学教育，其重要性在小学数学教材中相关数学史内容的编排上得以体现。数学史作为数学文化的一部分，不仅对学生具有极大的德育、智育和美育价值；也有助于小学数学教师加深对学生数学认知过程的了解，提升对教材的理解能力，并形成独特的教学风格。

关键词：

数学史；小学数学教材；数学文化

数学，起源于人类对生产生活中实际问题的探索与解决。数学史凝聚着无数数学家和数学工作者的智慧，不仅在国际教育界得到认可，也受到我国数学教育工作者的重视。在新课改明确提出将数学史融入小学数学教育后，我国多个版本的小学数学教材都对数学史的内容进行了选择和编排。数学史的学习，不仅能激发小学生数学学习的兴趣，有助于他们对知识的理解，更能展示出知识形成的线索，有助于教师的数学教学。

一、数学史与小学数学教育的关联建立与发展

德国数学家海尔布罗纳与法国数学家蒙蒂克拉分别于1742年和1758年出版的《世界数学史》与《数学史》，标志着一个独立研究领域———数学史的出现。之后，数学史的教育价值得到了众多学者的关注和研究［1］85－89。1972年，研究数学史与数学教育关系的国际研究小组（HPM）成立，数学史渗透到数学教学中、数学史与学生的认知提升、数学史与教师的专业发展等都是其研究与关注的主要内容。数学史，是数学文化中非常重要的一部分，它揭示了数学知识的产生和发展的曲折过程，包含数学知识，思想方法，思维过程，是人类智慧宝库中的结晶［2］98－99。教育部在2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中强调数学史的教育功能，在教材编写建议中明确提出介绍有关的数学背景知识”，认为这样不仅可以让他们对数学的发展历程有所认知，还可以让他们初步体会数学在人类社会发展史做出的非凡贡献，体验到数学的价值，激发他们学生学习数学的欲望。2005年5月，我国第一届全国数学史与数学教育会议”在西北大学召开，来自全国多个省市以及国外著名大学的众多学者参加了此次会议。会议围绕如何将数学史与数学教育相结合以及如何在数学教学中运用数学史这一主题展开。该会议提出了研究数学史的重要目的———为历史而历史、为数学而历史、为教育而历史［3］108－109。在2011年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中，对这一内容进行了进一步的细致化。在教材编写建议”部分中提到，数学文化是教材中不学发展史的相关材料，帮助小学生了解数学在推动人类文明发展过程中所起的重要作用，增加小学生对数学的学习兴趣，感受数学家严谨和认真的治学态度，欣赏数学所蕴含的逻辑美与形式美等。例如，可以引入《九章算术》、《几何原本》、珠算、黄金分割等数学史料。在教材内容设计上，《标准》还提倡要为学生提供一定量的数学阅读材料，包括背景材料、史料知识等，供学生选择阅读［4］63。可以看出，虽然我国数学史与数学教育关系的研究起步较晚，但自新课改实施以后，对于数学史与数学教育的联结与互动日益重视起来。在一纲多本”的理念下，我国小学数学教材编写呈现出丰富多样的态势，数学史作为数学背景知识的重要内容之一也呈现出多维度的渗透与融入小学数学教材中的特点。下面以人教版和苏教版两个不同版本的小学数学教材作为对象进行简要分析。人教版小学数学教材，从一年级上册到六年级下册共十二册，每册平均约110页。其中，一年级上册、一年级下册、二年级上册、二年级下册、四年级下册和六年级下册均未安排数学史相关内容。涉及的数学史内容包括三年级上册的分数表示法、乘号的来历、古代计时工具介绍；三年级下册的七巧板、加减符号、小数的表示法、除号的来历、指南针等等。纵观涉及数学史内容的6本教材发现，除了六年级上册只有一处数学史内容———鸡兔同笼外，其余各册所含较多，共23处。且每处篇幅大小不等，从1／4页到一页不等。苏教版小学数学教材平均每册110页左右。其中，一年级上册、一年级下册、二年级上册、二年级下册、三年级下册、五年级上册和六年级下册均未涉及数学史内容。其余几册共有13处，分别为三年级上册的24时计时法、分数的产生、古代计数法；四年级上册的计算工具的发展、古代乘法计算（铺地锦）；四年级下册的哥德巴赫猜想、古代欧洲双倍法”、计算乘法、用字母表示数；五年级下册的古代方程思想方法的发展、求公因数方法；六年级上册的鸡兔同笼、黄金比［5］80－83。以此为基础，对两种版本的教材关于数学史的相关方面进行进一步分析、比较，可以发现：首先，数学史在数学教材中呈现的时段具有以下特点：一是一、二两个年级均未涉及数学史内容；其次，在数学史的呈现方式上，两个版本的教材都有文字给出”、文字为主辅以图片”、图片为主辅以文字”和连环画”四种形式。其中，文字为主且辅以图片”形式占多数；再次，在数学史内容的选择上，两种版本的教材皆选取了著名数学家的故事（如高斯、杨辉等）、相关数学知识史料（如分数的表示法、除号的来历等）以及经典数学问题（哥德巴赫猜想）等具有教育意义的素材；最后，在选材时空上，跨越中外，横跨古今，如此广阔时空的数学史内容，既可以让学生感受数学的发展历程，又能够拓展学生在数学方面的视野。

二、数学史学习与小学生的发展

读史可以明智。数学史是一部厚重的、丰富多彩的文化史，它如同人类演变史一样，再现数学发展的原貌和全景，展现出伟大数学家们不断探索的艰辛的数学历程和数学的独特魅力。小学数学教材中数学史的融入对小学生的发展具有重要的促进作用，兼具德育、智育和美育价值。

（一）德育价值

学者骆祖英早于1996年所写的《略论数学史的德育教育价值》一文中指出了数学史具有不可替代的德育教育价值。第一，数学史的学习有助于爱国主义、国际主义教育。数学，归根结底来源于生产和生活实际问题的解决，与社会政治、经济、文化等的发展有着密切的联系。我国数学具有辉煌的发展历史，在14世纪以前曾是数学大国，取得的数学成就得到了世界的公认。近现代也涌现出了多位数学大师，如华罗庚、陈景润、陈省升等，他们均作出了令世界瞩目的伟大成就。在我国数学不断发展的同时，国外数学领域也有瞩目的成果不断诞生。因此，对数学史的学习和了解，不仅能够使小学生感受祖国的光辉荣耀，激发学生的民族自信心和自豪感，同时，也能接轨国际数学教育，了解其他民族文化中有关数学的应用，并体会到数学文化的多样性，为数学的无穷魅力所折服。第二，数学史的学习有助于加深对辩证唯物主义的认识。数学教育，多数时候是以相对概念出现的，如大”与小”、多”与少”、加”与减”、有理”与无理”等。因此，从发展历程而言，数学就是在不断的对立、转化的循环往复中取得进展的，数学史不仅是一部矛盾史，也是一部运动发展史，充满了辩证唯物主义。对数学史的学习，将有助于加深学生对辩证思想的认识与体会。第三，数学史的学习有助于学生人格和精神的成长。数学上的每一步前进，都需要数学家们艰辛的探索和实践，哪怕是一个小小的证明，都需要极大的耐心和勇气作支撑。伟大的数学家，如欧拉、华罗庚等，身残志坚，为钻研数学作出了很大的牺牲。数学史充满了数学家们为真理而献身的事迹，他们的伟大人格和崇高精神为小学生们照亮了学习的旅程，激励他们勇敢地克服困难，为数学奋斗［6］。

（二）智育价值

美国数学家、数学史学家莫里斯•克莱因曾说过，由于在课堂学习中，学生也会遇到数学家曾遭遇的各种难点和问题，因而历史对于课堂教学具有极其重要的指示和借鉴作用［7］11－14。作为学生，虽然以学习间接经验为主，不必重复历史，但也不该从历史停止的地方开始学习。新课改强调小学生的学习方式不应只限于接受、模仿与记忆等，而应积极进行自主学习与合作探究。小学生要逐步在教师的引导下，懂得主动去发现、探索并感受知识的形成过程，如此将有助于培养学生的创造力和自主学习能力；此外，数学史也是一部思维发展史。数学思维作为数学的灵魂，是数学中最根本、最精彩且最有价值的部分。因此，小学生学习数学，应该遵循重现法则”，小学数学教材中通过系统地呈现数学史料，渗透数学思想，将重要的数学思想方法和思维方式深入浅出地呈现给小学生。学生通过对和自己所学相关的数学史内容的观察、猜测、推理与交流等活动，逐步得到数学思维的训练，并提高思考问题和解决问题的意识，进而能够促进学生增长知识，发展智力。通过了解，更好的体会数学知识的价值及其应用。

（三）美育价值

数学，源于自然，是对自然之美的探索和解密。数学的内在美具有的神奇魅力，是驱使数学家们奋斗和拼搏的内在动力。随着社会的进步和发展，数学史的美学价值，逐渐引起教育界的注意并被挖掘出来。如黄金分割比0．618，是古往今来被认可的呈现数学美的典型案例。公元前6世纪，古希腊的哲学家、数学家毕达哥拉斯在研究正五边形和正十边形的作图中初涉这个比例。随后在公元前4世纪，柏拉图学派中最杰出的数学家———欧多克索斯，在处理不可公度量”问题时对此进行研究，并依此建立的比例理论推动了数论和几何学的发展。最后，在欧几里得的《几何原本》著作中，黄金分割这一理论得到系统的论述并成立。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割”。此后，黄金分割比0．618尤其受到建筑师们的青睐。无论是古埃及的神奇金字塔，印度的名著泰姬陵，还是中国的艺术博物馆———故宫等，这些享誉全球的建筑尽管风格各异，构造奇美，但都有意无意地使用0．618法则，尽显和谐之美，使人赏心悦目。数学史上类似的例子比比皆是，数字与音乐、数学与围棋等方面的探究成果无不彰显了数学所潜藏着的智慧和美。因此，提及数学之美，倘若只是注意到对称，无疑是大大窄化了数学背后所蕴涵的思维之美、方法之美与文化之美。透过教材所呈现的有关数学史料、图片，不仅能让小学生获得数学美的熏陶，提高审美意识，也有助于教师在欣赏数学美的同时学会寻找、挖掘教材中更多的美的元素。

三、数学史学习与小学数学教师的专业成长

数学作为小学的核心课程，对小学生今后的数学学习打下坚实基础起着十分重要的作用。数学史对小学生发展的重要意义，要求小学数学教师不仅需要具备扎实的数学课程专业知识，也需要有宽厚的数学文化底蕴，具备广泛的数学史常识，并能将之有效的融入数学教学之中。因此，数学史在小学数学教育中的融入，对于小学数学教师的专业成长也具有积极的推动作用。

（一）有助于加深对学生数学认知过程的了解

小学生的数学学习包含复杂的认知活动。但由于数学学科严密的逻辑性和高度的抽象性与小学生的思维水平、学习能力存在一定的差距，使得他们在数学学习时总会出现各种各样的错误，如对负数的认识。其实回顾负数概念的发展历程，数学家们也同样经历过各种障碍，甚至大数学家欧拉都对其表示怀疑。认知的历史发生原理提出个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程”的观点［8］2－3。即学生在数学学习过程中所遇到的一些困难和认知障碍在一定程度上与前人所遇见的极为相似。因此，教师们可以通过对数学史料的学习和分析，梳理出有关数学知识的发生过程，通过数学家所走过的曲折道路去认识学生可能存在的困难，从而在教学中正确认识并把握学生数学学习的认知过程，从而提高教学的质量。

（二）有助于提升对教材的理解能力

香港大学学者肖文强曾说过，一个数学教师，需要像一个独奏表演者一样，可以凭借自己的理解和领会能力去演绎音乐作品，但要演绎得十分美妙，表演者自身必须先了解并熟悉这部作品［9］48－49。数学史是认识数学、了解数学、学习数学的重要工具，一旦脱离，教育者则丢失了数学宝贵的财富，只剩下简单的逻辑、公式与例题。苏联著名教育心理学家维果斯基也曾指出影响个体所处的社会文化对个体的认知发展具有十分重要的影响［10］131。不同的教材使用，要求教师要有广泛的知识面和深刻的理解能力，而精选的数学史料则能帮助教师加深对数学的认识，提高对教材的理解和掌控能力。

（三）有助于形成独特的教学风格

教师要将数学文化融会贯通，必须真正读懂教材。数学史在小学数学教材中占据越来越重要的地位，以注释、小知识点的形式呈现，展现古往今来的数学家、数学成就、数学难题等。教师在授课时，倘若只是局限于知识静态教学，学生则在长久的学习和艰难的探索中容易对数学失去兴趣。所以，充分利用数学史，开创独特的教学模式，向学生介绍著名的数学典故，展示优秀的数学成果，将数学知识置于历史长河中，让数学知识以动态的形式走进学生的心中，将有助于教师形成独特新颖的教学风格［11］21－24。

四、总结

数学史源远流长，丰富多彩，将数学史的相关内容编排进小学数学教材中，不管是对于小学生的学习，还是对于小学数学教师的教学都有积极的促进作用。但目前小学数学教材中数学史的呈现多数仅限于静态的点，还难以在学生头脑中动态的联系起来。随着电子教材、多媒体等现代教学媒体技术的广泛应用，数学家、数学教育者、小学数学教材编写者应探索更多的将教育史融合于教材中的方式方法，提供广泛的资源库和电子链接，开发数学史选修课程，编写数学史读本等，真实地展现数学充满挫折和困难的发展历程，而不仅限于静态的数学成果的呈现。作为一线教育者的小学数学教师，应通过课题研发、专项培训、改革教育模式、与高校教师联手等方式努力提升数学史素养，不断提升自身专业水平。

作者：李星云单位：南京师范大学小学教育研究所

参考文献：

［1］谢明初．数学史应用于数学教育：发展历程与研究展望［J］．广东第二师范学院学报，2013（33）．

［2］教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［M］．北京师范大学出版社，2001．

［3］冯振举，杨宝珊．发掘数学史教育功能，促进数学教育发展［J］．自然辩证法通讯，2005（27）．

［4］教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］．北京师范大学出版社，2011：63．

［5］杨豫晖，魏佳，宋乃庆．小学数学教材中数学史的内容及呈现方式探析［J］．数学教育学报，2007（16）．

［6］骆祖英．略论数学史的德育教育价值［J］．数学教育学报，1996（5）．

［7］（美）莫里斯•克莱因．古今数学思想［M］．张理京，张锦炎，江泽涵，等译．上海科学技术出版社，2009．

［8］徐章韬，汪晓勤，梅全雄．认知的历史发生原理及其教学工程化［J］．数学教育学报，2012（1）．

［9］陈秀琼，杨高全．提高小学数学教师的数学史知识水平［J］．湖南教育（数学教师），2009（12）．

对数学教育的认识和理解篇2

【关键词】高中数学；从“惑”到“识”

一、“惑”与“识”理论概述

“惑“在儒家中理解为困惑、迷惑、疑惑之意，“师之，传道授业解惑也”，惑是认识主体在其发展过程中，因与自然事物相互接触后，所表现出来的在认知结构中对尚未掌握的知识的一种心理活动过程。对高中学生来讲，具备了一定的数学基础，对一些稍微复杂或有难度的数学问题就会自然形成疑，而由疑便会生惑，此时教师就可以从疑惑中发现问题，利用学生的疑惑来找到问题的关键，从而组织教学过程，把疑惑和问题统一，由此来找到更加有效的教学方法和手段。

“识”一般指人的见识，包括的内容众多，如知识、判断力、观察力等，而在教学中，学生的“识”主要是指对事物的认识，是对数学这个抽象概念的认识。华罗庚从数学认识的角度在“学与识”中指出，要达到认识事物本质的目的，就必须要灵活运用，把不是自己的变成自己的，即知而识之，学而识之，见而识之，“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”，从而完成“由厚到薄”的过程。

从“惑”到“识”是对知识学习的一种认识过程描述，包含了两个意境：困惑和见识。高中数学课可以大致可以分为三种：一种是侧重于学生活动的数学课，可称之为“教师教学生”型课，特点是课堂上能看到学生而看不到数学；一种是侧重于内容的数学课，可称之为“教师教数学”型课，特点是课堂上能看到数学而看不到学生；一种是侧重于过程的数学课，可称之为“教师教学生怎样学数学”型课，特点是课堂上既能看到学生又能看到数学。在最后一种类型的数学课中，学生对数学对象的认识能体现从惑到识的过程。从“惑”到“识”是一种人类固有的学习特性，教育就是要利用这种特性。

二、构建从“惑”到“识”的高中数学教学理念

1.“惑”从疑生。高中同学已初步形成了自己的人生观和价值观，但对待事物的看法有待成熟，需要教师在教学中用生疑解惑的艺术技巧去帮助他们完善从“惑”走向“识”的过程。教师要解惑就必须关心和关爱学生的一举一动，接受学生对待事物的惑，而且能够预见学生的疑惑并判别学生为什么在掌握新知识时会产生困难。

2.“识”从“惑”生。有了“惑”，学生对待学习的态度和兴趣自然会产生变化，并能走出学习的困境，实事求是，这也是数学学习的关键所在。教师必须从实际出发积极学习和研究教育教学与数学教育理论，对观念进行改善，反思教学实践，找到问题关键，并提炼出实践经验，形成数学教学的正确认识。从“惑”到“识”体现了数学从问题到理论的发生特点，问题是数学的心脏，而解题是数学的特点，问题提出和问题解决过程中，从“惑”到“识”是一个自然过程，一个学习者到了解题的十字路口时便会产生困惑，这时就需要教师作为引导者，把解决“惑”的思路传授给学生，让他们自己去找到一条正确的道路，这种数学的探究方式是对思维的有效训练。基于这样的训练，学生便会从由“惑”生“识”。

3.从“惑”到“识”。从“惑”到“识”的教学适应了学生认识规律的需要，符合学生认识成长的规律，这样的教学能够让教师引导学生去揭示或感受知识发生的原因、知识的延拓等，从诱惑、导学、启知、发识等教学环节让学生完成从“惑”到“识”的学习过程，从而掌握数学学习的真谛。

三、从“惑”到“识”高中数学教学举例

按照从“惑”到“识”的高中数学教学理念，要让学生在数学课堂中真正参与到课堂教学中，增强学生的欲望是关键因素，而学生认知冲突则是激发学生参与欲望的根本原因。在数学课堂中教师要不断设置认知冲突，从而激发学生的参与欲望。

例：函数及其图像教学（指数函数的图像和性质）

目标：函数及其图像在高中数学中占有重要的位置，如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图像语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，设置认知冲突，从而激发学生的求知欲望和好奇心。

教学思路：除了用列表、图像、解析法这三种常用方法对函数进行研究和学习外，也可以突破常规从不同角度对函数进行一个全方位的研究，让学生体会和理解不同研究方法。

教学理念：构建从“惑”到“识”的教学环节，由疑生惑、从惑到识，通过自主探索，让学生经历“特殊—一般—特殊”的认知过程，经历并逐渐渗透分类讨论、归纳推理等思维和数形结合的数学思想，让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，激发学生的学习兴趣。

四、结速语

从“惑”到“识”认真理清高中数学教学的基本理念，从实际出发摸索符合学生求知规律的教学方法，是当前新课程高中数学教学改革和创新的重要方向之一，教师要充分理解学生从“惑”到“识”的认知过程，才能在实践中找到一条适合高中数学教学的有效路径。

参考文献：

对数学教育的认识和理解篇3

论文摘要：教师是课程实施的主体，是课程改革的决定性力量，所以教师教育在新一轮课程改革中引起人们的广泛关注，教师教育的实效性问题成为人们思考的焦点。关于知识本质的理解及认知条件的思考为数学教学及数学教师的认知提供概念框架，为教师的专业发展提供背景支持。

新一轮数学课程改革强调数学教学是一种活动，是教师和学生的共同活动，这对广大教师树立正确的数学教学观有着重要的意义。同时，新课程提倡教师应适时改变教学方式，促进学生建构数学概念和技能，其中的建构活动一般包括逻辑和命题推理以及数学概念测验和总结。NCTM强调学生已掌握的和能够掌握的知识的目标取向和价值判定的重要意义。事实上，学生对教学知识的价值取向是教师评判对学生知识理解的关键元素，而教师的数学知识又深刻地影响着他们对学生的数学学习的理解阁。不过，对教师关于知识理解的发展本质，我们还知之甚微，况且教师对知识理解为他们的教学观念和实践的改变提供背景支持，所以关于教师知识理解的发展本质也是当下数学课程改革急于思考的问题。

同时，教师的数学观和数学教育观也极大地影响了他们的教学实践，正如库尼((Gooney)所言:“教师主要是依据他们所持又的种种观念来合理地判定课程及学生的理解。”问所以，要实现教师教学方式的转变并非一夜之举，还需要有教师学习的过程。

我们认为，在教师教育中，应提供更多的、更丰富的机会，让教师反思自己对数学的理解，对学生数学知识的理解以及反思自己的教学实践。若教师教育能从教师发展的角度思考知识的类型，则教师教育实践的目标、实施和评价方式都会有更好的定位。为此，我们认为，如果教师教育者能关注到知识理解的本质，那么他们也就能更容易理解和评价教师知识理解的不断发展，并能帮助教师在评价学生的数学理解时，反思知识的本质及知识是如何习得的。

本文主要在上述背景下，探讨知识的类型以及认知的具体条件。探寻人们所获得的知识本是认识论范畴的作业，但对于教师来说，他们需要对学生思考的意义作出评定，需要运用相关的数学知识来解释新知，所以这项作业也是教师要思考的，这就需要教师对他们的认知方式做出解释。事实上，考虑到教师知识及其与课堂教学之间关系的复杂性，在获取知识时，教师有必要接受那些哪怕还没有来得及分析和理解的知识。为了论述以上的问题，笔者欲从批判认识论视角作一基本的探讨，为实现数学教师的专业发展提供有效的教育平台。

一、知识认识:一个西方的观念

人们拥有知识，那么他们拥有什么样的知识，看看下面的句子:

1.我会进行四则运算;

2.我知道如何解一元一次方程组;

3.我懂代数;

4.我知道你说的是正确的;

5.我了解数学学习的标准;

6.我知道莫比乌斯带是一个单侧曲面，它具有很多意想不到的性质;

7.我知道启发式问题解决法。

这些实例都是运用语词认知来描述不同种类的知识，如果我们有意发现人们拥有哪些知识，那么我们首先要把语词认知的不同意识进行分类。一方面，“知之”本身意味着具备某些特定的能力，如果说某人知道如何做某事，这其中就含有一定的能力意义，如学习者知道如何求二元一次方程组，就意味着学习者已掌握求解二元一次方程组所必需的充要条件;如果说学习者能进行三位数加法计算，就意味着学习者能回想出或重述三位数加法的发生特征。

另一方面，“知之”意味着熟悉某人或熟知某事物。当说学习者懂代数，就意味着学习者熟悉这门课程;如果说学习者知道问题解决的启发法，这句话的含义就比较模糊，它可能简单地意味着学习者只是了解启发法，所以就有了认识感，也可能意味着学习者具备解决问题所需要的能力，也可能意味着学习者既具备问题解决所需的能力，也具有“知之”的认识感。这一实例说明了，“知之”涵义可从多角度加以阐释，“知之”一词在某一表达中可能表示多方面的含义。

第三方面，“知之”也可意味着把某些事实看作信息。如果说，学习者知道数10相当于10个1，那就可将这一事实看作为一个信息。事实上，“知之”的其他意义层面是需要信息意义的支持，也知道如何画三角形就需要有些三角形方面的信息;知道如何运用计算器，就要有些关于计算器的信息，所以，“知之”一词的信息含义通常暗含于其他意义层面之中。准确地说，信息意义是人类思维的基础，是理论思考和实践判断所必需的。为了对学生数学思考的意义作出评定，教师需要信息意义的知识，这一知识是超越单纯意义上的信息占有，确切地说，如果有人告诉我们一些事情，不管这些信息正确与否，我们可能也会接受这些信息，从某种意义上来说，我们接受的并不是知识，只是拥有了这些信息。

二、知识分析:有用的问题

知识分析总是具有一定的目的性，所以在进行知识分析之前，我们应明确希望达到的目标。

当教师教育者向教师呈现信息意义的知识时，我们强调四类重要问题:(1)正在使用的“知之”一词的意义是什么?(2)“知之”一词的信息意义是以怎样的方式暗含于“知之”一词的其它意义层面之中的?(3)知识来源的可靠性如何?(4)如何将“确认接受的信息是正确”与“相信接受的信息就是事实”两者区分开来?

除了思考上述四类问题外，知识分析的另一个有效办法就是观察错误的例子，如在发展学生比例推理的教学中，由于比例推理可以说是理解高层次学校数学和科学课程的基础，浸润于整个中学数学课程门，所以数学学习需要学生对比例关系有着丰富、深刻的理解。至此.教师应为学生提供更多的学习情境，包括在学校里以及日常生活中。

案例如下:李丽养了两只鱼S1和S2，S1是4厘米长，S2是5厘米长，李丽想，两年后，两只鱼都会长大，S1将长到7厘米长，S2将会长到8厘米长，那么再过两年，两只鱼会长到一般长吗?解决这一问题的主要目的是让学生运用比例推理，而不是比例等式来解决问题。学生的解法通常可分为两类:一类是绝对的或加法思维方式;另一类是相对的或乘法的思维方式。绝对的或加法思维方式:两只鱼应生长相同的长度，因为在第一个两年内，两只鱼的长度变化都是3米。相对的或乘法的思维方式:两只鱼的长度应与当下的长度作一比较，S1在第一个两年里将长3米，是当前长度的3/4，S2第一个两年里将长3米，是当下长度的3/5，由于3/4>3/5，所以在第二个两年里S1将比S2长得要快。

从学生的一些错误解法中可以观察出他们的思考方式。比如，有学生认为S2比S1长得快，因为3/5>3/4，从学生计算草稿中，教师发现学生在S1旁边标记着3厘米，4厘米和3/4，在S2旁边标记着3厘米，5厘米和3/5，在这两部分的下面写着5>4和3/5>3/4。从这些迹象来看，教师断定学生是采用乘法的思维方式。学生采用了正确的分数来比较相对变化大小，但没有正确推导出分数的大小。为了证实教师对学生解法的理解，教师让学生解释了其解法。学生首先解释，他是先心算出每只鱼各自在两年里长了多少，得出每只鱼绝对生长了3厘米，因此两只鱼应以相同的数量生长，但又注意到S2在开始时长于S1，因此，再一个两年后，S2应比S1要长。为了进一步确认学生的思考方式，教师进一步让学生解释3/5>3/4。学生在比较最初的两只鱼的长度后，5厘米大于4厘米，因此他写下5>4，想到最近一直在用分数解应用题，他将前面得出的绝对生长变化的3米应用到分数3/5>3/4中，3/5>3/4可保证2的长度大于1的长度。从学生的解释中，教师确定学生并不是采用乘法的，思维方式，即使最后的分数比较是正确的。学生看上去似乎知道如何运用不等号，但当比较分数大小时，他还是停留在整数知识水平上.而不是有理数部分知识。

对学生错误案例的分析，教师能更好地理解学生的思维状况。

总之，通过询问一定类型的问题，教师可以更好地理解知识。除了上述提到的四类思考问题外，还可就以下两类问题作一思考:

(5)在学生数学思维意义表达中是否存有反例?

(6)我们如何确认信息意义的知识是正确的?

再者，以上相关类型思考问题对于教师的专业发展具有较高的教育价值，这些问题能促进教师在评价学生数学理解的深度时，理清知识的类型，也能体现出教师是如何确认被评价的知识是正确和可靠的。

教师专业发展的目的之一就是促进教师在评定学生理解时，探讨和反思知识的本质，并关注数学发展的建构过程，超越“要么有，要么没有”的二元认知观。

三、认知的条件：接受体系的合理机制

这部分将简略描述认知的三个条件:首先是知识的正确性;其次是勒赫(lehrer)所称的知识的接受性，再就是知识的合理性，其主要目的是获得知识的真实性。事实上，知识的真实性是其合理性的内驱力。我们如何决定感知到的事情是否正确，我们需要诉诸于这些事情的相关信息，而相关信息又是我们探索事情真实性过程中所接受的，进而说明，接受是合理机制的促发元素。总之，接受体系是我们依据当下拥有的信息来决定接受内容的支架工具，是做出判定的基础。当人们面对事物的新的数据以及更深层次的细节时，接受体系往往会发生改变。如，当人们根据数据源和情境发现某信息比相对信息目标更可靠时，接受体系会因而增加此信息的合理性，即合理性的连贯表达。这样，证实信息的能力对合理性的连贯表达来说就是至关重要了。可见，认知不仅依靠我们的接受体系，同时也需要我们接受的信息同证实其的数据相一致，正如勒赫所建议的那样:认知是源于连贯性、接受性及真实性的完美组合。

对数学教育的认识和理解篇4

关键词：数学观；数学教育观；数学知识观；数学本质观；数学价值观

随着时代的发展、科学的进步及新课程改革的不断深化对高素质数学教师的要求，数学教师的数学教育观越来越被人们所重视，也成为数学教育研究的一项重要课题。众所周知，观念决定思想，思想决定行为，中学数学教师作为中学教师整体素质的重要组成部分，中学数学教师树立什么样的数学观教育观，决定中学数学新课程改革的成败和培养什么样的数学人才，也是中学数学教师职业化，的必然要求。数学教师贾作为《数学课程标准》的最终执行者，在《数学课程标准》下有必要探析中学数学教师的数学教育观，作为中学数学教师素养结构的先导性成分，中学数学教师的数学观对其教学教育观有重要的最影响。

一、数学教师的数学观

数学观是人们对数学本质、规律和活动的各种认识的总和[1]，数学观是在一定历史条件形成、发展变化的，与数学知识的发展水平有密切联系，反映了人们对当时社会数学性质和特征的见解，所以中学数学教师的数学观是数学教师特定时期对数学的基本看法和总和，历来很多学者对数学观进行过研究，对数学观的看法也各有不同，笔者认为数学教师的数学观主要包括数学知识观、数学本质观及数学价值观[2]。

（一）数学知识观

黄秦安教授指出：“数学知识观既是数学教师知识结构的重要组成部分和教师素质的基础，也是其数学观的构成基础”。数学知识观是数学教师对自己所从事的数学教育活动所需要的知识方面的看法，是数学教师所掌握的数学知识及其观念以及其他科学方面的知识构成了数学教师整体数学结构。笔者认为，数学教师的知识观包括对数学学科知识与心理学、教育学、教学论、教学方法相关的教学知识外，还包括各学科的综合知识等。除此之外，作为数学教师的还要关注数学未来的发展，与时俱进的学习数学知识。因此，作为中学数学教师，不能仅仅满足于已掌握的数学知识，而应结合自己的工作状况，不断学习基本知识以外的这个数学教育科学知识与一般文化科学知识，真正做到教到老，学到老。

（二）数学本质观

数学本质观是人们对数学本体的认识，比如数学是静止的，还是发展变化的，数学是真理的集合，还是人类实践活动的产物；数学是否与日常生活有联系等等。由于数学悠久的历史演变，加之数学与其他各种哲学观念的复杂的历史渊源，呈现出各种各样，五彩缤纷的特点。在各种数学观念中，有些只是对数学在某个历史发展阶段的特定认识，英国学者PaulErnest对于教师所具有的数学观，分出三种不同的类型：（1）动态的、易缪主义的数学观，把数学看作是一种创造性活动，处于探索发展的过程的知识，它一定包含有错误、尝试改正与改进的过程；（2）静态的、绝对主义的数学观：把数学看成是一种静态的永恒不变且无可怀疑的科学，认为数学是一个精心组织起来的十分严谨的逻辑体系；（3）工具主义的数学观。把数学看着是一系列定义、公式、法规、定律、定理等构成的汇集，数学教学就是在解决问题过程中如何运用这些真理，因此数学不能被看成是一个高度统一的整体，这些数学观都在一定程度上客观地反映了数学的本质特征，数学本质观决定着数学观，有什么样的数学观便会有相应的数学教育观。面对各种不同的数学观面前，中学教师应正确认识各种数学观之间联系。以科学、社会、历史、文化的视角弥补和克服片面的数学观的不足和弊端，树立正确的数学教育观。

（三）数学价值观

数学作为一门历史悠久体系完整应用广泛而又处于不断发展中的科学，它的价值是无可比拟的。一般认为，数学的价值表现在以下几个方面，（1）科学价值。自然科学、技术科学及社会科学的重要基础，相对具有比较完整的理论体系；（2）运用价值包括语言、工具、技术价值等，既是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，也是解决高新技术问题的关键技术；（3）思维价值。是进行思维训练的一个平台，在人类理性思维形成和个人智力发展的过程中发挥着重要的作用。（4）文化价值。是人类文明进步而成的人类文化的一部分，数学素质是公民必备的基本素质之一，数学价值观影响着数学教育实践，从教学目标到课堂教学，教材到试卷，都体现着数学教师的数学价值观，并对于不同的教学对象，中学数学教师在教学中体现数学价值的侧重面也不同。因此，作为中学数学教师应该用科学的数学价值观指导教学，才能真正使数学教学具有鲜明的针对性和实效性，符合学生的培养目标和发展需求，促进学生发展。

二、数学教师的数学教育观

数学教育观是人们关于数学教育本质认识的集中体现[4]，在不同的历史时期受当时政治、经济、文化价值观等的影响下形成对数学教育的不同的认识和看法，这些认识和看法的集中体现就形成特定的数学教育观，数学教育观从根本上影响和制约着数学教育各方面，是教师、学生以及社会对数学教育的认识、感知的重要内容，反映了人们对数学教育及其相关关系的根本看法。

（一）数学教育观的流派

对于数学教育观有两大足坛主流，（1）与古希腊数学及其精神的人文主义教育观；（2）源于现代数学经验主义、实用主义的科学主义教育观。人文主义教育观重视纯数学，把数学逻辑的严谨性和语言的抽象性及表达能力的优美性等奉为圭泉，认为数学是一种理性精神，是人类文化的核心，忽视甚至反对数学的应用，倡导学生学“纯真的数学”。而科学主义教育观中是应用数学问题、问题的解决、活动探究数学与现实生活的联系，反对形式化的数学，认为学习数学的意义在于找到数学的现实意义，与实现无关的数学教育观是无意义的。

三、结语

“数学是一门科学的简洁的、美的学问”。为了适应21世纪教育发展对高素质教师的要求，中学数学教师必须更新数学教育观、树立正确的数学教育观。中学数学教师要加深关于数学知识观、数学价值观的认识和理解，清楚数学观对于数学教育观的重大影响，从传统的、畸形的教育数学观将先进的、与时俱进的数学观转变，基于数学课程改革的深化，基于《数学课程标准》的实施，今后有必要继续对中学数学教师的数学教育教学观、学习观进行深入的调查与研究。

参考文献：

[1]曾一鸣，张生春.数学教学论[M].北京师范大学出版社，2010.

[2]黄秦安.数学教师的数学观和数学教育观[J].数学教育学报，2014，13（4），24-27

[3]Pualernest[英].数学教育哲学[M].齐建华，张松技译，上海教育出版社，1998.

[4]黄秦安，“逻各斯”的神话与理性主义的建议及重建，陕西师范大学学报2003。

[5]梁好翠.论数学教育观及其影响因素[J].广西社会科学，2008（6）；215-217.

对数学教育的认识和理解篇5

【关键词】幼儿园；新手教师；数学教育；学科教学知识（PCK）

一、问题提出

上世纪80年代中期，美国斯坦福大学教授舒尔曼（Shulman）首次提出学科教学知识（PedagogicalContentKnowledge，简称PCK）这一重要概念，旨在打破教师学科知识与教学知识分离的状态，强化教师行业标准。〔1〕他认为学科教学知识是教师将具体学科内容转化和表征为适合于不同能力和背景学生的有教学意义的形式的能力，这是一个集教学知识、背景知识和学科知识为一体的综合知识体系。〔2〕这一知识体系还包括教师表达自己思想的方式，学生易于理解的表征方法（比如：样例、图示、类比、解释和演示等），教师对学生的了解（比如：学生对某一学科主题感到容易或困难的原因，学生对某一学科主题产生偏见或误解的原因，帮助学生消除偏见或误解的策略,特定的话题、问题、论点以怎样的方式组织、表达和调适使之适合于不同能力、兴趣和背景的学生，帮助或引导学生以自己认为有意义的方式理解学科内容等）。〔3〕学科教学知识是教师知识体系的内核，是教师成为学科专家必备的知识，可以作为区分专家教师和新手教师的重要依据。一般而言，经验越丰富、对各种知识整合程度越高的教师，其专业化程度也越高，相应地具有更系统的学科教学知识。〔4〕

幼儿期是“数学的启蒙期”。幼儿园的数学教育能够使幼儿学会“数学地”思维，体验到数学在生活中的具体应用，逐步形成抽象思维能力。〔5〕幼儿园教师只有具备良好的数学教学能力才能胜任数学教育工作。为了帮助幼儿理解数学概念，学习数学知识，幼儿园教师在组织具体的数学教学活动时一般需要借助直观的实物，并作具体形象的讲解。正如有的学者所言，学科教学知识是教师运用类比、样例、图示、解释和演示等表征方法来帮助学生理解所学知识的一种能力，〔6〕是教师多种知识的融合及教学能力的综合体现。可见，幼儿园教师如果具备良好的学科教学知识，就会根据具体的数学活动，采用诸如类比、样例、图示、解释和演示等表征方法，甚至是更适合幼儿的其他表征方法来组织数学教育活动。

查阅相关文献资料发现，我国针对幼儿园教师群体的学科教学知识的理论研究和实证研究尚不多，研究幼儿园教师数学学科教学知识的更稀少。因此，开展幼儿园教师的数学学科教学知识（PCK）研究具有较大的理论和实践意义。

本研究希望通过关注和研究新手教师数学学科教学知识及其特点，为提高新手教师的数学教学水平提供帮助和指导。

二、研究方法

1．研究对象的选取

在重庆市主城区公办幼儿园中选取5位教龄均在3年以下的新手教师作为研究对象，基本信息见下表。因重庆市公办园中男教师较少，故本研究不做性别上的区分。

2．研究方法

采用访谈法，进行半结构式的深入访谈。

3．研究工具

采用自编半结构式访谈提纲进行访谈，访谈提纲涉及幼儿园教师数学教学知识的4个维度：数学内容知识、数学教学策略知识、关于幼儿的知识和数学教学情境知识。〔7-10〕

三、结果分析与讨论

1．数学内容知识

本研究中的幼儿园教师“数学内容知识”是指幼儿园数学教育的具体内容和最基本的数学知识，是教师应该知道的“教什么”的知识及幼儿需要学习的最基本的数学知识。在访谈过程中，5位新手教师都提及数学内容知识应与幼儿的生活经验相联系。

A教师：数学教育的内容肯定要与现实生活相联系，并渗透在幼儿的一日生活中。比如：数学中的序数，孩子们在生活中经常会接触到第一组、第二组、第三组这类概念，慢慢地，他们就对序数第一、第二、第三等有了一定的了解，参与数学教学活动之后他们又会有更清晰的认识，以后就可以运用到生活中去了。

C教师：幼儿园的数学教育内容与幼儿的日常生活有联系，幼儿的日常生活里充满了数学教育的资源，比如乘坐电梯、孩子过生日、拨打电话等，都可进行数学教育。

D教师：数学教育肯定与生活有联系，如幼儿园班级人数、孩子的生日、电话号码等，都是数学教育的内容。

由上可知，新手教师一致认为，数学教育的内容与幼儿的生活经验相联系。

2．数学教学策略知识

这里的幼儿园教师“数学教学策略知识”是指为了达到数学教育目标，根据幼儿认知特点、水平及不同幼儿之间的差异，选择合适的教学策略的知识。比如：选择类比、样例、图示、解释和演示等幼儿易于理解的表征方法帮助他们理解数学知识。访谈发现，5位新手教师普遍认为应该运用演示和图示等教学策略进行幼儿数学教育。

B教师：在日常幼儿数学教学活动中我经常运用的教学策略是演示和图示，具体则根据教学内容而定。

E教师：演示和图示这类策略很能抓住孩子的注意力。

可见，新手教师普遍认为，在进行幼儿园数学教学时运用演示和图示的教学策略，教学效果较好，策略的具体运用则要根据实际情况而定。

3．关于幼儿的知识

本文“关于幼儿的知识”是指幼儿园教师了解幼儿的认知特点、逻辑思维能力发展情况、不同幼儿的认知基础与差异以及关于幼儿经验的知识。另外，幼儿园教师还应知道哪些数学知识幼儿容易理解，哪些数学问题是幼儿容易混淆或难以理解的，在数学教学活动中幼儿常犯哪些错误，如何辨析和纠正这些错误，等等。〔11-14〕

对数学教育的认识和理解篇6

教材结构问题可以说从有教材时就提出了。人们对教材结构的研究是随着教材的发展不断深入的。早期的小学算术教材基本上是按照成人学习算术的顺序，采取直线前进的编排方式。后来人们逐渐认识到，按照成人的学习顺序编排教材，学生学习起来有一定的困难，教学内容的编排应该与儿童的年龄阶段相适应，于是就出现了圆周式（或称螺旋式）的编排方式。

随着学习心理学研究的不断发展，出现了许多新的教育思想，推动了小学数学教材的变革。20世纪初，杜威的儿童中心论，强调教育应该从儿童的兴趣出发，课程应该心理化。随后有人倡导“单元教学”，即把算术内容分别组织在各个生活单元之内。这种教育与心理相结合的编排，比较适合儿童的年龄特点，对以后的小学教育改革有很大影响，但不足的是不能使学生获得系统的算术知识。以后，有人提出“程序教学”的思想，即把教材的内容分解成一个一个的小步子，让学生根据自己的实际情况，采取适当的进度。这种思想，对学生的学习过程进行了比较深入的研究，对以后的学习过程的研究也有很大启示。但由于学生的差异很大，因而程序教学不能使大多数学生达到基本的教学要求，教材的编写也比较繁琐。

针对上述教材改革的经验和教训，60年代兴起了教育现代化运动（简称：新数运动），一些教育家、心理学家提出要注重理解学科的基本结构。在这种思想的影响下，小学数学教材改为主要按数学的逻辑顺序来编排。由于这种编排过多地强调了数学的逻辑顺序，忽视了儿童的年龄特征和认知规律，给教学带来了很大困难。“新数运动”后，各国都在探索教育改革的新路。80年代后期，各国都相继提出了教育改革的新方案。这些方案不是对“新数运动”的简单否定，而是在过去改革的基础上，努力克服以往的缺点，使之更适合儿童学习的特点。

二、教材结构内涵的研究

什么是教材结构？不同的历史时期有不同的认识，目前还没有完善的定义。比较有代表性的观点主要有以下几种。

1．教材结构要反映学科的知识结构

这种观点的代表人物是美国的心理学家布鲁纳。按他的说法，一门学科的知识结构，就是学科的基本概念、基本原理、基本方法以及它们之间的相互联系。他认为：懂得基本原理可以使得学科更容易理解；懂得基本原理、观念有助于长期记忆，就是在部分知识遗忘的时候，也能得以重新构建起来；领会基本的原理和观念，是通向适当的“训练迁移”的大道；领会结构能够缩小“高级”和“初级”知识之间的差距。他的这些观点的主要意思就是，学生懂得了学科的基本结构，就可以理解和掌握整个学科的基本内容，并能够促进迁移。基于以上观点，他提出了一个假设：“任何学科都能够用在智育上是正确的方式，有效地教给任何发展阶段的儿童。”这一思想不仅对当时“新数”教材有很大影响，就是在现在美国的小学数学教材以及其他一些国家的教材中仍有它的影响。

2．教材结构就是教材的组成部分和编写形式

叶立群先生认为“教材的结构指的是教材有哪几部分，哪几种形式组成的。”另外，王策三先生在《教学论稿》谈到教学大纲和教科书的结构时，认为教科书一般由目录、本文、作业、图表与附录构成，这种观点侧重于教材的编写体例。

3．从学科内容和儿童年龄特征两方面综合构建教材

周玉仁先生在《小学数学教学论》中谈到教材体系和结构时，指出：“小学数学教材结构是在综合考虑数学本身的逻辑规律以及小学生认识规律和心理发展水平的前提下，用数学的基本概念、基本规律、基本事实和基本方法联系起来的整体。这个整体不是知识、原则的罗列和拼凑，也不是各部分数学知识的简单求和，而是一个上下贯通、纵横交叉、紧密联系的知识网络。”再如，曹飞羽先生认为“一个学科的教材结构必须是能反映这个学科的各要素、各成份（包括知识、技能、智能、思想观点等）之间合乎规律的组织形式。……它的组织形式必须考虑学生的认知心理特点和认知的方法，便于使学科的知识结构转化为学生的认知结构。”

在教材结构的这几种观点中，笔者比较倾向于第三种。因为它既考虑了学科知识本身的联系，又考虑了学科知识与学生认知规律的结合。如果一个教材结构把这些问题都处理得很好，就可以使学生比较容易地形成一个学科知识的认知结构。

三、建立合理教材结构的几点认识

从前面的简单回顾可以看到，小学数学教材的结构经历了一个曲折的发展过程。变革的中心问题，都是如何看待和处理数学的逻辑顺序和学生的心理发展顺序的关系。对于这个问题，笔者想谈几点学习体会。

1．应认真研究每部分知识的特点，以及它对培养能力的作用

数学知识的每一部分都有自己的特点和对某些能力培养的优势，只有对此有比较明确的认识和理解，才能较好地发挥它们的作用。在这方面我们已经有丰富的实践经验，但还需要认真总结提炼，把经验性的内容上升到理论高度，以此指导教材的编写工作。

2．应深入研究学生学习数学的特点和规律

学生学习数学的规律有共性，这从大多数国家编写的教材就能反映出来。但是每个国家的学生都有自己的特点，所以每个国家的教材都有自己的特色和特性。因此我们在研究学生学习数学的特点和规律时，不能总是引用外国心理学家的理论。这是因为任何研究都是受时间、地点、条件的制约的，人的认识也因此受到制约。学生年龄特征和认识规律在总体上是由低向高发展的。但在具体年龄段的划分上有很大的差异。且随着社会的发展，人类的进步，学生的年龄特征也不是一成不变的。所以我们要根据我国的政治、经济、科学技术和社会环境等具体情况进行研究，按照我国学生学习数学的特点和规律来编写数学教材。否则，老走别人的老路，就不可能编出有中国特色的教材。

3．要精心设计教材结构

教材结构的建立必须经过大量研究，认真策划，教材的每一部分都必须精心设计。教材与一般的书不同，它的每一部分都应该经得起反复推敲。否则，教材就会显得深一脚浅一脚，这个矛盾不解决很难提高教材编写的质量。

4．应注意数学知识的内在联系

一个合理的教材结构，其知识间纵横联系必然是比较紧密的，搭配是合理的。如果不能做到这一点，教材结构就不太合理。如义务教材在纵横联系方面就有不足。第三册教材基本上是表内乘、除法，加减法和其他内容很少，而第四册教材基本上是加减法。这种搭配就不能说合理。学生在一学期接触的总是类似的知识，对激发学生的学习兴趣不利。

四、我国教材的结构及其特点

要研究教材结构，除了研究外国的教材外，还应对本国的教材有所认识，下面介绍一下我国小学数学教材的结构及特点。

小学数学的主要教学内容包括：数与计算、量的计量、几何、代数、统计知识等几部分知识。

1．数的认识

数的认识小学阶段主要教学整数、分数、小数及其相关的一些知识。在整数方面根据我国的计数特点和低中年级学生的学习特点，分五个阶段：“20以内”、“100以内”、“万以内”、“亿以内”、“亿以上”。分数、小数各分两段：先初步认识，再系统教学。初步认识一般安排在三年级，在学生有了一定的整数基础时教学，并且先教学分数再教学小数。系统学习一般安排在四、五年级，先教学小数，再教学分数。这主要是考虑到，分数的书写形式和运算法则跟整数都不一样，并且需要有整除的知识作为基础，学生接受起来比较困难。小数和整数都是十进制，小数的写法和运算法则与整数的基本相同，学生接受起来比较容易，因此先教学分数后教学小数。由于前面已经安排了分数的初步认识，为小数的教学作好了准备，所以这样编排既符合儿童的学习规律，又不违背数学的逻辑顺序。

2．计算

小学数学计算教学的主要内容是：整数、分数、小数的四则计算。计算的编排是配合着数的认识进行的，数的认识每扩展一次，就配合有相应的计算。例如，整数的认识分为五段，每一段都安排有计算的相关内容。在“20以内”学习一位数加法和相应的减法；在“100以内”重点学习两位数加减法，在“万以内”重点学习三、四位数的加、减法和乘数、除数是一位数、两位数的乘、除法。在“亿以内”，重点学习乘数、除数是三位数的乘、除法，四则运算中各部分间的关系，以及一些简便算法。在“亿以上”，重点教学自然数和整数的概念，十进制计数法，整数四则运算的意义，运算定律等。

计算内容的编排有这样几个特点。

（1）加强算理的教学。通过操作直观加强算理教学，如，教学一位数除两、三位数时，一方面从已学的口算引入，帮助理解笔算除法的过程，另一方面结合直观，说明每次除的顺序和商的书写位置，使学生更深刻地理解竖式计算中每一步的含义。

（2）注意各种计算方法的适当配合。小学数学主要教学：口算、笔算、珠算、估算、简算几种计算方法。这几种方法都是密切联系着的，具有相辅相成的作用。其中口算不仅是笔算的基础，也是学习估算和简便算法的基础。因此把一般它安排在每种运算教学的开始，在此基础上教学笔算。掌握一定的笔算之后，又有助于口算能力的提高。珠算具有一定的直观性，可以帮助学生加深对数位、相同数位对齐、进位、退位的理解，一般把它安排在加、减法笔算之前。估算安排在笔算之后教学，可以提高学生检验笔算的能力。同时在估算时，又要用到一些口算，又有助于提高口算能力。简便算法对一般的口算和笔算方法来说，属于特殊情况，需要根据某些运算定律采取特殊的计算方法。简便运算需要一定的口算和笔算基础，因此放在每种运算最后教学。教材就是根据各种计算方法之间的内在联系，把它们合理地加以安排，使其相互配合。

3．量与计量

小学数学中量与计量的主要内容有：长度单位、重量单位、时间单位、面积和体积单位。这些计量单位的进率不完全相同，且有些计量单位比较抽象，而学生在这方面的感性认识比较贫乏。因此，这方面的内容采取分散编排的原则。

（1）由具体到抽象编排。在上面的几种计量单位中，长度单位、重量单位比较直观具体，学生在日常生活中接触得比较多，掌握起来比较容易，所以先进行教学。而时间单位比较抽象，看不见，摸不着，难以用比较形象具体的事物表现出来，且进率又是60进制。所以后进行教学，让学生在积累了一些量与计量的学习经验基础上来学习，这样编排比较符合儿童的学习特点。

（2）注意与认数、计算和几何知识的配合。由于学习计量知识需要有数与形的知识作基础，因此编排时，教材注意与相关知识的配合。如，米和厘米安排在100以内数的循环圈内，毫米、分米、千米安排在万以内数的循环圈内。而面积、体积单位与几何图形的面积、体积计算联系紧密，所以安排在几何知识的教学中。

4．几何知识

几何知识从一年级起有计划地分散在各册教学，主要分三个阶段。

（1）初步认识。这一阶段，一方面出现一些常见的几何形体，把它们作为教具帮助学生认数和理解计算法则。另一方面教学一些几何形体的初步认识，如，长方形、正方形、三角形、圆；长方体、正方形、圆柱、球。通过直观操作活动，使学生初步认识这些图形的特点，并能够区分它们。

（2）平面图形特征的认识。这一阶段，是在前面初步认识的基础上进一步认识图形的特征，并教学相应的周长和面积的计算。如，长方形、正方形的认识，一年级已初步认识，到这一阶段，就要进一步认识它们的特征：它们都有四条边，都是对边相等；正方形的四条边都相等；它们都有四个角，每个角都是直角。并教学它们的周长和面积。

（3）立体图形的认识。这一阶段主要教学一些立体图形的特征和相应的表面积、体积计算。

5．代数知识

小学数学的代数知识一般都是在算术知识基本结束，在比、比例知识之前进行代数初步知识的教学。分三个阶段。

（1）渗透孕伏阶段。从一年级开始通过安排一些用括号或其他符号表示数的练习，如，出现3＋＝9，16－＝8，6×（）＝30等算式。这里的和（）都代表一个具体的数。这种练习形式多次重复出现后，学生对用符号表示数就比较容易理解了。

（2）用字母表示数阶段。这一阶段先结合加法和乘法的运算定律以及几何图形的面积、体积计算，教学用字母表示运算定律和计算公式，使学生体会到用字母表示数量关系比较简明的优越性。然后再正式教学用字母表示数，使学生知道用字母表示数的意义和作用。

（3）简易方程阶段。这一阶段先结合四则运算各部分间的关系，出现求未知数x，列出含有未知数的等式解简单应用题。在此基础上再正式教学简易方程。

6．统计知识

统计知识教材是采取分散与集中相结合的方式编排，并注意与计算、应用题的联系。为了加强对统计思想和方法的认识，提高学生运用统计方法解决简单的实际问题的能力，义务教材在编排上，做了两点改革。

（1）把求平均数作为一种统计思想方法进行介绍，不再作为一种应用题。

（2）统计初步知识分散编排。在低年级渗透了一些简单的统计图表，中年级教学简单的数据整理和简单的求平均数的方法，高年级教学数据的收集和整理、统计表和较复杂的求平均数的方法，以及较复杂的统计表和统计图。

五、对教材内容及其结构进一步的研究与思考

虽然我们的教材改革取得到一定的成绩，但是随着时代的发展，科学技术的进步，教材中已有一些内容和方法不太适应社会发展的需要，因此我们的教材结构应贴近时代要求。在教材结构方面，笔者认为以下几个问题仍然值得进一步探讨。

教材结构体现时代特点的问题随着科学技术的空前发展，国力竞争的增强，社会对教育提出了新的要求，要求培养出具有创新意识、创新能力和具有实践能力的人才。小学数学作为义务教育的一门主要学科，应该对此作出及时的反映，小学数学教材结构应反映出时代特点。

（1）估算问题。

随着先进而简单的计算工具的广泛使用，社会生活对笔算技能的要求降低了。同时由于需要处理大量的、变化的信息，对口算、估算能力的要求提高了。但是目前我们的教材，估算仅作为选学内容，且呈现的形式比较单调，没能体现出对学生估算能力培养的完整意图。因此，要加强估算，应首先把它作为正式的必学的内容确定下来，并且渗透到各个年级。不仅有计算的内容要安排相应的估算，而且还要配合几何、量的计量、应用题等内容进行。要把估算作为一种非常重要的思想方法来培养，使学生学会用估算的方法去观察问题解决问题。

（2）引进计算器的问题。

随着计算器在日常生活和工作中的逐步普及，在小学数学中引入计算器已逐渐受到人们的关注。计算器的使用，可以代替机械性的计算，使学生把时间和精力转移到理解数学、探讨数学和应用数学上去。因此，可以考虑在适当的年级（如中、高年级）引入计算器，允许学生在验算、面积和体积计算以及统计数据等时使用，以节省教学时间，提高正确率及学生的学习兴趣。

（3）加强统计知识的问题。

我们已经步入信息时代，大量信息需要我们去收集、整理、进行分析并得出结论。统计的思想、方法在各方面的应用日益广泛。应该把这些思想、方法变成学生分析问题、解决问题的自觉行动，要达到这一目的，需要比较长的时间进行渗透、教学。因此，我们应该把统计知识分散在各年级教学，从一年级开始结合数的认识、计算、几何知识等内容教学。并且还要加强实际活动，提出一些符合学生日常生活实际的问题，让学生寻找条件，收集数据，进行整理、筛选出有用的数据，选取合适的条件来解决这些问题。这样既可以提高学生的学习兴趣，又可以培养学生将实际问题转化成数学问题并加以解决的能力。

（4）应用题改革的问题

应用题在我国小学数学中是份量比较重的一个内容，经过多年的经验积累，已形成了自己独特的教学体系，它的改革是比较困难的。笔者认为：我国的应用题教学，在培养学生思维能力方面还是有其独到的作用，但在培养学生运用数学知识解决简单的实际问题的能力方面还比较薄弱，可以借鉴一些“解决问题”的思想，从培养学生解题策略方面进行适当的改革，使应用题的教学更符合儿童的生活实际，这样既可以提高学习兴趣，又有助于培养学生将实际问题转化为数学问题并加以解决的能力。

2．小学数学教学内容的分段问题

数学概念的发展是一个不断反映现实世界数量关系和空间形式的矛盾和不断解决这些矛盾的过程，儿童的认知发展也是一个由浅入深经历多种水平或阶段的渐近过程。因此安排小学数学教学内容时，应根据各部分内容的分量、难易的程度以及学生的年龄特点适当划分阶段。如，分数的概念比较难建立，需要在不同层次上有适当的重复。目前教材一般都是分两段编排：先初步认识，再系统教学。这种编排比较符合数学的逻辑顺序，在整数知识的基础上教学分数，不仅使学生看到了数的扩展，而且掌握起来也比一开始就学容易。但不足的是由于分段较少，两段内容的差异较大，且相距的时间较长，给学生的理解和记忆造成了一定困难。因此，分数教学的分段还有待于进一步研究。在研究时，一方面要注意各阶段应有不同的重点，要循序渐进，逐步提高；另一方面也要注意防止把知识分得过细，或出现不必要的重复。这一原则不但适用于分数，也适用于其他的内容。

3．教材与教学过程的关系问题

教材是为教学服务的，教材的编写应该考虑教学的实际需要。教材应不应该体现教学过程？从目前我国的师资水平考虑还是应该有所体现。这样既可以减轻教师的备课负担，又可以为教师提供课堂教学的基本模式，虽然这样编排可能显得比较死板，但对教师把握教学要求还是有帮助的，同时也不限制好教师的正常发挥。因此，在考虑教材的编排时，要认真研究各部分知识的教学过程。

4．与其他学科的联系与配合问题

数学作为工具性学科，一方面要注意适应别的学科的需要，如，学习常识、地理需要用到一些计量，数学要在不增加学生负担的前提下，尽量提前安排。另一方面，数学需要其他学科的知识做基础。如，应用题的学习，需要学生有一定的识字和阅读能力，因此在安排应用题时，除了要考虑应用题本身的系统和难易外，还要考虑到语文学习的进度，要在语文课给学生打下初步的识字、阅读基础之后，再安排应用题。

5．联系实际的问题

将数学知识和实际联系起来，可以使学生正确认识数学乃至科学发展的道路。目前，我们的教材在反映生活实际，培养学生应用数学的意识方面，与时代要求还有距离，需要进一步改革。要改变这种现状，一方面要注意新知识从现实生活问题引入，使学生借助这些有实际背景的问题，加深对所学的数学知识的认识和理解。另一方面，数学作为一门工具性学科，还应安排一些联系实际的习题和实践作业，以培养学生解决实际问题的能力，使学生在将数学应用于实践的过程中，创新意识和创新能力得到逐步培养。

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