微元法的基本原理范文

【摘要】

目的建立利用原子吸收鉴别中药材贝母的方法。方法利用原子吸收分光光度器和定碳定硫器对10种产地贝母中的16种微量元素进行了测定。结果测定出贝母中16种微量元素的含量，并以测定结果含量为指标，提取特征因子，再利用特征因子作分析。结论此方法可以用于中药材贝母的鉴别和分析。

【关键词】贝母微量元素聚类分析鉴别

Abstract:ObjectiveToestablishanidentificationmethodforFritillariabyatomicabsorption.MethodsTheatomicabsorptionspectrophotometryandsulfur&carbondetectorwereusedtodetermine16traceelementsin10speciesofFritillariaoriginofdetermination.ResultsThecontentsof16traceelementsweredeterminedandfeaturefactorswereextractedandanalyzed.ConclusionThismethodcanbeusedformedicinesFritillariaidentificationandanalysis.

Keywords:Fritillaria;Traceelements;Clusteranalysis;Identification

微量元素在生物体中含量不足万分之一，但对人体的健康起着重要作用。它们在维持某些维生素的活性，参与激素的生理作用，协助体内某些物质的运输以及维持核酸的正常代谢等生命活动起着重要作用［1］。中药材中所含微量元素也日益受到重视，微量元素的测定可为阐明中药物质基础、鉴定与改良药材品种提供基础数据［2］。

贝母为目前常用中药，具有清热润肺、化痰止咳等功效，主治肺热燥咳，干咳少痰，咳痰带血等症［3］。为了全面评价贝母质量，构建道地性川贝母质量标准，并为品种鉴别提供依据，有必要对其微量元素的含量作系统的测定。本研究选取市售10种不同产地、品种贝母，并对其16种微量元素含量进行测定与分析。有报道表明［4］市场上有不法商人利用硫磺熏的方法使贝母颜色发生变化，以次充好。本研究使用碳硫检测仪对这10种贝母中硫和碳含量进行了测定，为辨别良品贝母和劣品贝母提供一种方法。

1器材

1.1药材药材见表1，均购自四川成都荷花池药材批发市场，并由四川成都西华大学制药工程系鉴定，均为正品，符合2005版《中国药典》规定。

1.2仪器PerkinElmerAAnalyst700原子吸收分光光度器；PerkinElmerAS800自动进样器；Dell电脑；LECOCS600碳硫检测仪；Sartorious分析天平；马弗炉；电炉；纯水仪等。

1.3试剂14种元素标准品（购自国家标准物质研究中心）；硝酸（优级纯）；高氯酸（分析纯）；硫酸（分析纯）；双氧水（优级纯）；硝酸镧(分析纯)；氯化铯(色谱纯)；助溶剂纯铁粉（太原钢铁集团有限公司钢铁研究所），钨锡助熔剂（LECO公司生产，PartNo:501～008）。

2方法

2.1样品处理参照吴刚等［5］的方法并略作改进。取适量样品，用液氮处理后用碾钵碾至粉末，然后过100目筛，并在50℃干燥箱中烘烤3h，在精密称取各种贝母样品约1g，加入硝酸和高氯酸混合液，在调温电炉上加热至黄烟消尽，样品完全溶解，溶液呈清亮状态（约0.5h），若有需要可经干燥滤纸过滤。再转移至100ml容量瓶中，用纯水定容。

2.2测定方法及条件按照原子吸收分光光度仪标准操作规程操作。火焰原子吸收测定时采用空气-乙炔火焰，其中测定钙含量时采用乙炔-氧化亚氮火焰。每个样品系统自动检测3次，并取平均值和算出RSD值均小于2%。测定条件见表2～3。石墨炉原子吸收法测定条件见表3。对于贝母中的非金属元素硫和碳，本研究采用碳硫检测仪，方法如下：精确称量约0.05g样品于专用坩埚中，并加入0.5g纯铁粉和1g钨锡助熔剂。按照碳硫检测仪标准操作规程操作，每个样品做3次，取平均值。测定条件如下：最短时限40s，比较器水平8%，有效位数2位，积分延迟0s。以氧气作为载气，进气压力35psi，上端进气压力12psi，下端进气压力12psi，背压755.4mmHg，氧气流量3L/min，环境温度25℃。

表1实验用药材及产地（略）

表2空气-乙炔火焰原子吸收法仪器操作条件（略）

表3氧化亚氮-乙炔火焰原子吸收法仪器操作条件（略）

表4石墨炉原子吸收法仪器操作条件（略）

3结果与讨论

3.1样品处理条件的优化

3.1.1干法处理和湿法处理的选择为了使样品充分硝化，本实验研究了干法灰化和湿法硝化对样品结果的影响。在湿法硝化的过程中采用HNO3-HClO4，HNO3-HCl，HNO3-H2SO4和HNO3-H2O2作为混酸液测定结果；在干法处理中，先通过电炉炭化样品，再通过马弗炉灰化样品，最后加入混合酸溶液，并定容，也测定结果。发现在干法处理中一些元素对高温比较敏感，造成测定含量偏低，同时该法由于处理过程相对复杂，耗时较多，也通过查阅一些资料［6］，最后发现采用湿法处理结果最为理想。

3.1.2硝化液种类的选择为了使测定结果更加准确，消除在湿法处理时由于混酸种类的选取造成对结果的影响。本研究选取了，HNO3-HCl，HNO3-H2SO4，HNO3-H2O2，HNO3-HClO44种混合酸硝化体系作比较，溶液配比均为2∶1。以Cu，Co，Cr含量测定为例，研究混酸体系对测定结果的影响。结果见表5。

表5不同混合酸体系对测定结果的影响（略）

3.1.3硝化液体积比的影响对混酸液中两种酸液的配比作1∶1，3∶1，5∶1，7∶1单因素实验。结果见表6。由表6知，选取硝酸和高氯酸3∶1配置效果最好。

表6硝化液配比对测定结果的影响（略）

3.1.4测定过程中干扰的控制在测定K，Na元素时为排除离子化干扰，在样品、空白和标准溶液中加入了5ml10%CsCl溶液作为消电离剂。因为在测定这些元素时，它们容易在溶液中水解，造成在火焰原子化时，基态原子数目下降。在加入CsCl溶液后，其在溶液中大量水解，在火焰原子化时消耗大量能量，阻止K，Na基态原子电离，从而增加检测精度。

在测定Ca元素时，为了排除由于磷酸盐存在可能出现的化学干扰，在样品、空白和标准溶液中加入了La(NO3)3硝酸镧作为释放剂，因为磷酸盐和钙离子反应所产生的磷酸钙在火焰时极难原子化，造成测定结果偏低。在加入后，镧和磷酸生成更稳定的化合物，从而将钙释放出来，使测定结果更加准确。

3.2测定结果样品处理后，K，Na，Fe，Cu，Co，Cr，Mn，Ca，Mg，Pb，Zn元素采用火焰原子吸收光谱法测定，Ni、Si、Al元素采用石墨炉原子吸收光谱法测定。结果见表7。对于贝母中的非金属元素S、C，本研究采用碳硫检测仪。测定结果见表8。

表710种不同产地、品种贝母的12种元素测定结果（略）

表810种贝母硫和碳含量测定结果（略）

3.3因子分析与聚类分析聚类分析是将一批物体或变量按照它们在性质上亲疏远近的程度进行分类，采用谱系聚类方法可以将一个样品集化分为若干聚类。在这方法中，聚类的排列方式是小类包含在大类中，其分析的典型结果是一个谱系图［7］。用标准化特征数据计算各样品间欧氏距离平方，此距离综合反映了两个样品之间的每个指标之间的大小。

在本研究中先利用SSPS14.0软件，对10种贝母的16种微量元素进行因子分析，即是对这10种贝母的每一种元素的含量进行差异性分析。软件分析表明以Pb，Zn，Ni，Co，Cr，Si为关键因子分析，最能体现出不同产地和品种贝母之间的差异性。

对提取出的这6种关键因子作聚类分析，在统计量上采用群度凝集过程和近似性矩阵，图形上采用垂直方向的树状图，方法上采用以欧基里德直线距离平方为依据构建群间联接。因为采用欧基里德直线距离平方能够消除在聚类过程中由于差减产生的负值对结果的影响。结果见图1。

图110种贝母6种关键因子聚类分析图（略）

4讨论

表7测定结果表明，这10种贝母中钾、钠、镁、钙、铁等矿物元素的含量很丰富，均接近或超过100μg·g-1。新疆产伊贝母的Na和Ca含量偏高，平均值为361.25μg·g-1和457μg·g-1，而除小金产贝母外，其它产地贝母的Na和Ca含量均偏低，平均值为123.6μg·g-1和191.2μg·g-1。其它微量元素的含量分析表明，四川产地的贝母样品与省外产地样品也呈现出一定的差异。但同种或相同地域的贝母在微量元素含量上差异较小。测定结果能够在一定程度上反映出药材本质，该方法也可作为鉴别贝母药材的一种手段。

表8表明，10种样品的碳含量差别不大，而硫含量却差别较大，这可能和药材产地的土壤条件有较大关系。硫是土壤中一种比较主要的元素，一般来说土壤开垦时间越长，土壤中所含的硫会越低，土层越向下，硫含量也会越低。有报道表明［8］，土壤如果硫含量过低，会使其所产出的作物有致癌的可能。以上样品的测定结果能反映对应产地的土壤情况。同时，对于市场上出现的用硫磺熏蒸的方法对贝母外表处理的现象，也可以用表8的数据来判别是否是用劣质贝母以次充好。

对6个特征因子的聚类分析（图1）表明，5号松蕃产贝母和9号拉萨产贝母亲缘关系最近，而3号新疆温泉产贝母和7号新疆塔城产贝母遗传距离最近，这就说明贝母中微量元素的含量和其产地具有相关性，产地地理环境和距离越相近其亲缘关系越近。分析表明，其它贝母与浙贝母的差异均较大，而浙贝母不论是其形状特征还是临床药理作用都与其他贝母都有较大差别［9］。因此，图1的聚类分析，可以从微量元素的角度阐明，揭示出植物分类系统与化学成分间存在着联系性这一概念，但因地理位置的不同，土壤气候条件不同，使样品体内代谢过程也发生了一定的改变，其所含的活性成分也有差异，也能够反映出不同谱系贝母之间的差异。

在学术界对用中药材微量元素含量来分析和鉴别药材还存在一些争议，但笔者认为用中药材微量元素含量来分析和鉴别药材的方法，从原理上讲是可行的。因为中药材的鉴别应联系其临床药理药效，而任何中药的疗效必然和复杂的化学组分相联系，可能并不是单一组分发挥作用，很可能是多组分协同发挥，而微量元素是其重要化学成分之一。分析和鉴别药材差异的一个重要因素是地域差异，而药用植物微量元素含量的变化正是体现了这种地域差异，两者是有必然联系的。

参考文献

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［3］中国药典委员会.中国药典［S］.北京：化学工业出版社，2005：25．

［4］陈长利，牛晓勤．漫谈口服液制剂［J］.中国药学杂志，1998，12(2)：45.

［5］吴刚，张丽萍，赵树忠，等．蒙药配方中常用药材的微量元素分析［J］.广东微量元素科学，2003，10(2)：36.

［6］李峰，王黎，刘彦明，等.火焰原子吸收光谱法测定中成药中微量元素［J］.信阳师范学院学报(自然科学版)，2006，10(4)：463.

［7］乌莉娅·沙依提，张帆.常用伞形科类维药中微量元素含量与聚类分析［J］.亚太传统医药，2006，12：65.

［8］方清茂，李昆．川黄连的土壤与药材中部分微量元素的含量［J］.华西药学杂志，2002，17(4)：282.

微元法的基本原理范文篇2

1.微波消解技术生物医学及药物分析的应用

生物样品的消解是微波应用最早的领域，处理样品包括动物、植物、食品和医学样品等，微波消解克服了传统干法或湿法的高温、使易挥发元素损失、费时等缺点，结合众多分析手段(如：原子吸收光谱法、ICP-AES、ICP-MS、FAAS等)，可以对微量元素及痕量元素进行分析。微量元素与人体健康的研究成为当代医学中引人注目的新领域，采用微波消解人发样本测定元素包括：Al、Bi、Ca、Cd、Cr、Cu、Fe、Ge、Hg、Mg、Mn、Mo、Ni、Pb、Se、Sr、Zn及稀土元素。我国是稀土大国，稀土的储量及产量均占世界首位。过去认为稀土很少，不可能进入环境及动植物体。稀土元素参与了自然界的生物链，随着环境中稀土浓度增加，人体内稀土浓度也相应发生变化。因此，人发中稀土元素的分量测定，可以了解不同环境人群头发中稀土分量的实际水平和变化，是研究环境与人体生命科学的一种良好的指示性生物样品。用微波消解样品，采用土壤标准样品(GBW07403)进行质控，ICP-MS法测定人发标准样品(GBW07601)中15种超痕量稀土元素，测得值与标准值及参考值有很好的一致性，证明本法准确可靠，填补了原标准样品中仅La、Ce和Y有标准值，其余12种稀土元素无分量值的空白。[1]

测定生物样品中的痕量元素时，样品的制备是一个重要的课题。近年来，迅速发展起来的微波密封消解技术，利用微波辐射引起的内加热和吸收极化作用及所达到的较高温度和压力使消解速度大大加快，不仅可以减少样品的污染和易挥发元素的损失，而且样品分解彻底，操作过程简便容易，使样品前处理效率大大提高。[2]中国原子能科学研究院放射化学所采用WRT-3CH微波样品处理系统研究微波技术在生物样品预处理中的应用，对标准物质潞党参(GBW09501)、海产品消解后分析并进行国际比对，其结果准确可靠。

通过测定中药中微量元素的含量的研究其对人类正常生理功能的影响，考察中药微量元素的药理活性及建立中药微量元素质量控制标准有着重大的意义。微波制样技术则为中药中微量元素的提取提供了一种很好的方法，配合ICP-AES、ICP-MS、冷原子吸收、FI-HG-AFS等对微量元素进行分析。新疆大学分析中心采用WR-1C微波样品处理系统结合ICP法对新疆贯叶连翘中无机元素的含量进行了测定，该法在30min内即可完成试样的消解，测定结果令人满意。[3]由于微波消解技术加速了样品的分解，改进了传统的消化模式，改善了工作环境以及减轻了分析人员的劳动强度。

2.微波消解技术食品及化妆品分析中的应用

采用微波消解植物、动物、水产品、粮油谷物等样品，利用国家标准物质验证方法的可靠性，测得微量元素的回收率为92～103，RSD为1.2～8。

微波对食品样品的消解主要包括有传统的敞口式、半封闭式、高压密封罐式，以及近几年发展起来大的聚焦式，配合之后的分析检测手段AFS、AES、原子荧光法、毛细管电泳、ICP-MS、ICP-MS等。在各类食品中有些含有对人体有害的重金属元素，如Pb、As、Hg、Cd等，在传统的干法或湿法消解很容易损失，而Al及营养元素Ca、Zn、Fe等在环境、试剂、器皿中含量很高，易造成污染，这样使得微波消解在食品及卫生检验领域的应用越加广泛。[4]天津市卫生防疫站理化检验科利用微波消解－氢化物原子吸收光谱法测定食品中的铅，取得良好效果。[5]天津市食品卫生监督所采用WR-1E型微波密闭溶样系统结合冷原子吸收测定微量的汞，仅用10min左右即可将有机物消化完全，并可同时消化多个样品。实验重现性好，添加回收率达90以上。

对海(水)产品的研究，有利于人们综合利用海洋(淡水)资源，保护水域生态环境。海洋生物及淡水生物对水体各种元素有一定的富集作用，其中的有害元素(如：Pt、Cd、As、Se、Hg等)对人类的作用逐渐为人们所重视。采用ICP-MS、ICP-AES、AFS对海产品中微量元素的分析微波消解前处理是关键。中国原子能科学研究院放射化学所采用王水、HF体系在WRT-3CH微波样品处理系统消解海产品[1]同样在国外样品分析比对结果中取得很好结果。

化妆品是与人们生活密切相关的轻化工产品，其配方中含有很多有机和无机成份。[6]其中某些金属元素的存在将损害皮肤，有的元素甚至可以沿毛孔和呼吸道进入体内，对人体健康产生严重危害，化妆品中有害金属元素含量是评价化妆品质量的重要卫生指标，对化妆品的金属元素必须严格限制，其中As、Pb、Cd、Cr、Bi五种微量元素危害最大，对这五种元素的分析方法有比色法、原子吸收法和ICP-AES法，由于乳状化妆品基体复杂，这五种元素的含量又极低，一般比色法和火焰AAS法很准确测定，水平管炬的ICP-AES由于其灵敏度可达ng/mL级，基体干扰小，一次进样可以同时测定五个元素，是一种较好的分析方法。微波消解技术可以在较短的时间内对有机成分进行快速消解，由于容器密闭，对金属挥发组分不损失，是一种很好的化妆品前处理方法。

3.微波消解技术环境式样分析中的应用

在环境式样分析中，采用和样品预处理所耗时间及费用约占实验室分析过程投资的60，因此，改进传统消解方法的弊端，从整体上提高环境分析的速度和质量尤为重要。

微波消解在环境试样分析方面的应用很广，涉及到的环境试样包括土壤、固体垃圾、核废料、煤飞灰、大气颗粒物、水系沉积物、淤泥、废水、污水悬浮物和油等。微波消解环境试样可以用来测定其中的As、Al、Ba、Be、Ca、Cd、Co、Cr、Cu、Fe、Hg、K、Li、Mn、Mg、Na、Ni、Pb、Sb、Si、Sr、Se、Ti、Tl、V、Zn、Zr和稀土等金属元素，总磷、总氮、无机硫等非金属及废水的COD值等。

浙江省疾病预防控制中心采用微波消解原子吸收法测定土壤中的铬。[8]铬是重要的污染物，铬的氧化状态毒性较大，被公认为致癌物，另一方面，铬盐引人土壤中明显增加糖的含量与产量，增加一些生物化学的活性，因此，必须了解环境中的铬浓度，才能有效地了解和控制环境。微波消解作为样品分析的新技术，由于消化样品能力强、速度快、消耗化学试剂少、金属元素不易挥发损失、污染小、空白值低等优势，已被广泛应用于各种实验室的化学分析。微波消解和应用原子吸收法对对土壤中的铬测定具有简便快速、灵敏准确的特点，是土壤分析的较好方法。

需氧量是评价水体污染程度的重要指标之一。[7]污染水样的微生物有机体分解消耗水中的氧，使水中需氧量增大，含氧量减少，当溶解氧低于(4mg/L)供给水生动植物生存的必需水平时，水质恶化，严重影响生态系统的平衡。化学需氧量COD、生物化学需氧量BOD和总有机碳TOC是评价水体有机物污染的三项指标。因BOD测定周期长，TOC测定结果的相关性较差，因此，COD成为评价水污染的首选方法。利用微波较强的穿透能力和有效的瞬间深层加热作用，样品和试剂分子通过对微波能的吸收，可以使药品中的极性分子在微波电磁场中快速转向和定向排列，从而产生撕裂和相互摩擦而发出的深层热量足以使水样中的还原性物质被氧化剂充分氧化，这样，微波消解作为测定水体COD前处理部分发挥其举足轻重的地位。4.微波消解技术地质冶金分析中的应用

地质试样主要指岩石、矿物、土壤、水系沉积物等样品。一些微量元素共存时的存在形态和行为与他们单独存在时不尽一致，使地质试样的分解显得比其它样品要困难得多。

采用TeflonTEF密封容器，氢氟酸与王水分解花岗岩和海洋沉积物样品，溶样60s，火焰和石墨炉原子吸收光谱法测定其中的Cr、Al、Zn，回收率大于97。用王水、氢氟酸微波分解硅酸盐，用ICP-AES测定多种元素也得到较好的效果。

由于煤灰化学成分复杂而且含有大量的SiO2和Al2O3，试样处理及分析测试均比较困难。传统的熔融法和湿法消化操作中引入的沾污经常干扰分析测定过程，而且样品需要分别处理，如：测Si的国标方法是将煤灰和NaOH混合在700℃熔融，再分别用热水和HCl溶解；测Al、Ca、Fe、Mg、Ti、Mn、K的国标方法是将煤灰分别用HClO4、HF和HCl加热消解；测Pb、Cr的国标方法是将煤灰分别用HClO4、HF和HNO3加热消解。若采用微波消解方法可以用于煤灰中多元素的同时消解和测定。[9]

钢铁工业分析一个长期存在的问题是钢中铝的溶解，传统方法是采用NaHSO4熔融，但会引入大量易电离元素，不适合随后的光谱测定。采用HNO3/HCl/HF消解的高压弹法，虽可避免挥发损失并得到无盐基体，但需要80℃加热1h。采用微波加热只需要80s。微波消解还特别适合用于低温焊接、非铁基耐热合金、硅酸盐材料等。

5.微波消解行业概况和对未来的展望

微波样品处理设备兴起于上世纪最后几十年，对解决长期困扰AAS、AFS、ICP、ICP-MS、LC、HPLC等仪器分析的样品制备，起了革命性的推动作用。采用微波样品处理设备，样品放在双层密封罐里，在压强或温度控制下，在微波炉里自动加热，难消解的样品几十分钟即可，时间大大缩短，酸雾量也减少，同时也减少了对人和对环境的危害。用酸少，空白低、检出限低，易挥发元素几乎没有损失，结果准确、能耗低。

微波样品处理设备，国外主要生产厂家有美国CEM、意大利Milestone、美国OI、P.E、加拿大Questron等。国内除盈安美诚公司同时在北京和上海有数家企业在生产。与国外同类设备相比，国产仪器差距较明显：

首先：国外采用专门制造的炉体，容积大（40L，35cm）操作方便，采用双磁控管，输出功率达1400～1600W。国产微波炉容积小，一般只有24～28L，22～25cm高，操作不方便，功率仅800W，罐多时升温慢。

其次：样品罐耐压低，国外已达110大气压，我们才14～40个大气压。

最后：控制软、硬件水平低，国外温度压力双坐标同时用图形显示和控制，国内甚至还在采用原始的数控模式。

盈安美诚公司从1993年初开始研制WR系列微波样品处理系统，积累了研发该类产品的实际经验，所以在本课题攻关中，目标是赶超国际水平。盈安美诚公司在攻关过程中不断突破关键技术，使仪器的整体水平达到了国外同类产品的中档水平，并正在建设一套完整的实验方法来配合WR系列微波样品处理系统的使用。虽然该项目技术难度大、指标高，但意义普遍、推广价值大，对国内该行业水平的提高必定会起一定的推动作用。

[1]微波溶样ICP-MS法测定人发标样中15种稀土元素的研究刘虎生质谱学报Vol.17No.41~5

[2]微波技术在生物样品预处理中的应用张丽华现代科学仪器2004.No.537~40

[3]微波消解ICP-AES法测定新疆贯叶连翘中的微量元素易新萍光谱学与光谱分析Vol.24No.7890~892

[4]微波消解－氢化物原子吸收光谱法测定食品中铅李凤萍中华预防医学Vol.34No.6360~362

[5]微波密闭消解－冷原子吸收法测定生物样品中微量汞郝林中国卫生检验Vol.8No.4215~217

[6]微波消解法测定化妆品中铅砷汞朱永芳理化检验－化学分册Vol.38No.6305~307

[7]微波消解原子吸收法测定土壤中的铬韩见龙中国卫生检脸杂志第11卷第2期22~24

微元法的基本原理范文

【关键词】凑微分法；中间变量；复合函数

凑微分法（也称为第一类换元积分法）是一种常用且重要的基本积分方法，其方法的运算过程与函数求导过程有着很大的联系.由于被积函数的复杂性，可选用的公式的多样性及换元技巧的灵活性，初学此方法的同学们即使了解了方法的整个过程，但是具体解题时会遇到各种各样的问题，即使是学了此方法很久的同学也深有同感.本文在大量实例的研究基础上，提出了一种简单易学的解题方法，此方法可以使初学者更快地入门，进而通过练习，可以很快地掌握凑微分法的基本思想及方法.

一、基本理论与规律

1.凑微分法的主要定理

定理设f（u），φ（x），φ′（x）都是连续函数，函数F（u）为f（u）的一个原函数，则

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f[φ（x）]dφ（x）=f[φ（x）]+C.

2.主要规律

由上述定理，我们可以得到关于凑微分法的基本规律如下：

（1）凑微分法的被积函数一般是一个复合函数和其他函数的乘积形式，这可以作为使用此种方法的重要特征.

（2）此种方法的基本思想是化繁为简，即通过凑微分和换元将被积函数变为基本初等函数再用公式计算即可.

（3）此方法可看成复合函数求导的逆过程.

二、基本方法

由基本定理和上述规律可见，在学习具体方法之前，首先有几个准备工作必须完成：

（1）要清楚适用于此类方法的积分要具有什么特征，即在被积函数中一定有复合函数；

（2）常用到的一些凑微分形式必须熟练掌握，如3dx=d（3x+1），xdx=112dx2，11xdx=dln|x|，exdx=dex，cosxdx=dsinx，11x2dx=-d11x等等；

（3）要对每个基本积分公式非常熟悉，以便凑微分后可以准确、快速地写出积分结果.

基于上述讨论，下面给出运用凑微分法解题的基本步骤如下：

（1）找关键：观察被积函数之中是否含有复合函数，若有，找出复合函数中的中间变量u=φ（x），这样，凑微分就有了目标，φ（x）是否能够准确地找出来是凑微分法能否继续进行的关键；

（2）凑微分：知道了φ（x），就知道了目标就是凑出dφ（x），再根据被积函数给出的其他部分凑出dφ（x）；

（3）选公式：观察凑微分之后的积分形式（必要时需换元），确定用哪个基本公式；

（4）写结果：根据选用的公式写出积分结果（若换元记得还要还原）.

三、具体例子

下面通过几个例子来阐述使用上述方法的解题思路.

例1∫11（3x-5）2dx.

分析按照上述方法，第一步，要判定此积分被积函数中是否含有复合函数.显然，11（3x-5）2=（3x-5）-2为复合函数，故可以找到φ（x）=3x-5.第二步，我们知道了目标是将dx经过凑微分变为d（3x-5）.现将解题步骤书写如下：

∫11（3x-5）2dx

=113∫11（3x-5）2d（3x-5）（确定使用的公式为∫11u2dx=-11u+C）

=-113·113x-5+C.

例2∫11x（1+2lnx）dx.

分析被积函数11x（1+2lnx）可看成乘积11x·111+2lnx，其中111+2lnx=（1+2lnx）-1为复合函数，则此题的φ（x）=1+2lnx.目标为凑出dlnx，而做到这一点非常容易.具体过程如下：

∫11x（1+2lnx）dx

=∫111+2lnx·11xdx

=∫111+2lnxdlnx

=112∫111+2lnxd（1+2lnx）（确定使用的公式为

∫11udx=lnu+C）

=112ln1+2lnx+C.

当然，我们提出的方法在具体使用中远不止像上面两例那么简单.比如下面的例子.