高等函数的概念范文篇1

Abstract：In-depthunderstandingofmathematicalnotionsisthefoundationtolearnhighermathematics.Inthispaper，severalconfusingnotionsareinterpretedbytheuseofpiecewisefunctionasacounterexampleinhighermathematics；counterexampleofpiecewisefunctionmakestheabstractconceptsmoreconcrete.Piecewisefunctionasacounterexamplecanhelpstudentscultivatethethinkingabilityandimproveinnovationability.

关键词：高等数学；概念；分段函数；反例

Keywords：highermathematics；notions；piecewisefunction；counter-example

中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1006-4311（2013）26-0219-02

0引言

学习数学可以锻炼学生严谨的思维，培养分析问题和解决问题的能力，高等数学是各高校的理工农林等专业学生必修的基础课。在高等数学中起着基础、关键、贯穿作用的是数学概念。每个数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提。数学概念的简洁、抽象、严谨等特点导致很多学生对高等数学学习有畏惧感，感觉抽象、枯燥，乏味。在有限的学时内，让学生正确理解概念，教师举例说明是直观的，可以减少学生学习活动的盲目性。逆向思维可以打破学生的定向思维，使其从多层次、多角度理解概念，进而深入的掌握知识，大大的开拓视野。利用反例教学在高等数学的教学中起着画龙点睛的作用。

分段函数是指在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的一个函数。分段函数在每段内对应的解析式是初等函数，在分段点处的特性往往会发生很大的异常，这也是用作反例的重要价值。本文主要将一元分段函数作为反例，在高等数学中学生不易理解或者易混淆的几个重要概念中进行应用。

1初等函数与分段函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而形成的并可用一个式子表示的函数称为初等函数。由于分段函数是由几个式子表示的函数，有些老师讲解初等函数的概念时，只强调初等函数用一个式子表示，轻易地得出分段函数非初等函数的结论。事实上并非所有的分段函数都不是初等函数。

例如，函数y=3x+2，x？叟0x+2，x

2有界函数与函数值

若函数f（x）在区间I内有界，则称f（x）在区间I内为有界函数。初学有界函数概念的学生易与有限的函数值混淆。事实上函数有界是函数在研究区间整体的一个性质，函数值是某点按照对应法则计算的结果，这两个概念是整体和局部上的区别。

例如，分段函数f（x）=■，x≠00，x=0在任意x0点的函数值为有限值■，但是对任意的θ（θ>1），不妨取x0=■≠0，有f（x0）=■=2θ>θ，从而知函数f（x）为无界函数。

3函数极限与函数值

如果在xa的过程中，对应的函数值f（x）无限地接近于常数A，则称数A是函数f（x）在点a的极限。初学函数极限的学生易想当然的认为函数的极限就是函数在点a处的函数值。事实上函数在点a处极限值的存在与该点处函数值无关。

例如，已知函数f（x）=■，x≠25，x=2，极限■f（x）=

■■=■（x+2）=4，而在x=2处的函数值f（x）=5≠4。

4无穷大与无界函数

若对于任意给定的不论多么大的正数M，总存在δ>0，当0

例如，已知数列函数f（n）=n，n=2k■，n=2k+1，其中k为整数。显然它是一个无界数列函数，但当n+∞时，它不是无穷大，因为奇数子列是收敛的，极限值为0。

5原函数和可积

若f（x）在闭区间I上有原函数，很多学生就认为函数f（x）在闭区间I上可积。这是因为他们将原函数和可积两者认为等价的。事实上，函数具有原函数和可积不是充要条件。

例如，分段函数f（x）=2xsin■-■cos■，x∈（0，1]0，x=0，又知函数F（x）=x2sin■，x≠00，x=0，且有F'（x）=f（x）。因此F（x）为函数f（x）的原函数，但是分段函数f（x）在闭区间[0，1]上不连续，故在[0，1]上不可积。

通过列举一个反例能够调动学生学习的积极性，将思路引到正确的轨道上来，加深学生对知识的理解，辨析错误，可以让学生少走很多弯路。同时，反例还可以促使学生去寻找某些结论成立的新条件，培养学生严密的思维能力。在高等数学中证明充分而非必要命题（定理、法则）、必要而非充分条件命题（定理、法则）时，分段函数作为反例仍起到重要的作用。

参考文献：

[1]吴怡.数学概念的教学策略初探[J].教学与管理，2009（27）：129-130.

高等函数的概念范文篇2

在现行中学数学新课标教材中,“函数”这个概念,最早出现于初中义务教育课程标准实验教材《数学》八年级上册[1-3].函数概念的教学,在初中采用“变量说”,在高中采用“对应说”,这种安排基本上是遵循函数概念历史发展的本来顺序,也符合人们对于函数概念认识过程上的发展性、阶段性,但即便如此,学生形成和理解函数概念的水平仍旧很低.已有的教学实践表明,函数概念是学生数学学习中感觉最困难的概念之一.

近期在成都某中等层次中学做了一次问卷调查.此次调查时间是他们刚学完函数概念,分析结果发现:有4%的学生认为函数是一种特殊的数,19%的学生认为函数是方程,有77%的学生认为函数是变量.这说明变量定义函数还没有被所有的学生接受.有72%的学生只愿意用解析式表示函数,6%的学生愿意用表格表示函数.说明函数的三种表示方法在学生的头脑里还没有统一起来,学生还是习惯用精确的解析式表示函数.在理解函数概念中“自变量取某一值时,函数有唯一确定的值与之对应”时,只有13的学生理解正确.这说明学生在理解对应时有较大的困难.另外学生还不习惯看图像,也不善于从图像中发现信息.

函数概念是中学数学中最为重要的概念之一,也是学生在数学学习过程中第一次遇到的一般意义的抽象概念,学生理解上存在困难是不言而喻的.函数概念有许多复杂的层次和许多相关的下层概念,这样,函数成为中学数学中最难教、最难学的概念之一也就不足为奇了.

2函数概念在课程中的重要性

函数是贯穿于初中及高中数学的重要知识,对于培养学生的逻辑思维能力有很大的作用.函数在初中数学中占有很重要的地位.从中学数学知识的组织结构看,函数是代数的“纽带”,代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接联系.并且,函数还是数学的后继发展的基础,这一章的内容对高中数学中各种初等函数的学习以至高等数学中函数概念及性质的研究也奠定了一定的基础.同时函数知识在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用,在解决生产生活中的实际问题时,也往往采用函数作为建模的基本工具.函数既从客观现实中抽象出来,又超越了千变万化的课题的个性,其内涵极为深刻,外延又极为广泛,所以它既是重点,又是难点.[4]

3关于“函数”这个概念

3.1数学史中关于函数的发展

函数概念从产生到完善,经历了漫长而曲折的过程.这不但因为函数概念系统复杂、涉及因素众多,更重要的是伴随着函数概念的不断发展,数学思维方式也发生了重要转折:思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系,实现了数与形的有机结合,在符号语言与图表语言之间可以灵活转换.与常量数学相比,函数概念的抽象性更强、形式化程度更高.[5]

3.2变量与常量

初中课本中变量被当成是不定义的原始概念,而变量是函数概念中一个最基本的概念.数学中的变量概念与日常生活经验是有差异的,人们对变量的普遍理解是,在日常生活中,“变量”应该是变化的,不确定的.但数学中的变量包括常量,常量被看成是一种特殊的变量.另外函数概念中变量的意义更具一般性,既可以作为数,也可以作为点;既可以作为有形之物,也可以作为无形的东西.

3.3函数概念表示的多样化

一方面表现在定义域、值域的多样性,可以用集合、区间、不等式等不同形式的表示;另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示,从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来.与其他数学概念相比,由于函数概念需要同时考虑几种表示,并要协调各种表示之间的关系,常常需要在各种表示之间进行转换,因此容易造成学习上的困难.

3.4定义中的抽象因素

函数是在初中遇到的第一个用“数学关系概念定义法”给出的概念,解释它的本质(对应关系)的叙述方式与先前所学的诸多数学概念的叙述方式是不一样的.y=f(x)表示了一种特殊的对应关系,其中每一个字母都有特定的含义.但这种含义仅从字面上是看不出来的.我们不能通过“f”来想象对应法则的具体内容,也不能通过x(或y)来想象定义域(或值域)的抽象性到底是什么.这种抽象性大大增加了函数学习的难度.

4学生学习心理分析

初一学生大多是从公用性定义或具体形象描述水平向接近本质定义或具体解释水平转化.理解掌握抽象概念有一定困难,在一定程度上要依靠主观的、具体的内容,特别是比较复杂的抽象概念,还抓不住其本质属性,分不清主次的特征.初二是掌握概念的一个转折点.初三学生基本能够理解概念的本质属性,能逐步地分出主次,但对高度抽象概括且缺乏经验支柱的概念,还理解不深.[6]

当学生的概念形成水平较低时,不理解它或在认识上感觉困难是正常的.学生只有通过大量客观事例,认识变量的概念,理解量与量的相异关系,才能形成函数概念的描述性定义,获得朴素、直观的认识.

中学生的思维发展水平是从具体形象思维逐步过渡到形式逻辑思维水平.初中生以形式逻辑思维水平为主[7].函数是一个辩证概念,而学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期,看问题往往是局部的、静止的、割裂的,不善于把抽象的概念与具体的事例联系起来,还不能用辩证思维的思想来理解函数概念,这与函数概念的运动、变化、联系的特点是不相适应的.例如,学生常常认为,“x”代表一个单个的数(可能是未知数);求函数值就是把数带入“公式”中的字母运算;学生常常把函数概念与“公式”等同起来,因此函数的动态性、变化性在思维中不能得到充分反应.对初中学生的思维水平来说,建立函数这样一个复杂的概念需要克服许多困难.

5新课程理念在初中函数概念内容中的体现

传统的数学课程内容重结果.新课程中,学习的内容不仅包括数学的一些现成结果,还包括结果的形成过程.新教材中,“函数”部分,大量的材料是学生熟悉的、感兴趣的.这种题材使得学生的数学学习活动是一个生动活泼、主动和富有个性的过程.这种题材要求学生要有充分的从事数学活动的时间和空间,在亲自体验和探索中认识数学,解决问题,理解和掌握基本的数学知识、技能和方法.

在新教材中,有关“函数”的内容不再是初三一次性学完,而是分布在初二、初三等不同阶段分段学习.教师要重视函数概念的教学,同时注意尽早、分阶段向学生渗透函数思想,逐步使学生形成函数思想方法.这也体现了建构主义的教学观.

新教材中,有关“函数”的内容,通过大量生活中的例子把图像、列表等形式表示的函数都呈现出来,以便多角度认识函数.而且教材增加了许多“函数有关的实际问题”,如前言、例题、习题、阅读材料等,这样的教材,信息量大,知识含量高,更重要的,它不是只注重知识,而且有利于学生综合素质的形成.它引入概念的方式是:实际例子(问题)数学概念实际问题.这种方式借助实际问题情景,由具体到抽象的认识函数,又通过函数应用举例,体现了数学建模的思想,另外,内容的呈现方式丰富多彩,图文并茂,注重学生在学习过程中主体作用的发挥,同时联系生活实际,培养了学生的数学意识.更重要的是,这种题材呈现方式符合这个阶段学生的年龄特征和学习数学的心理规律,而且遵循逐级递进、螺旋上升的原则.

这样的课程设计,充分考虑到了学习者的因素,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用的过程.

6初中函数概念教学的策略建议

6.1注意尽早进行函数思想方法的导学

事实上,函数观念的培养在小学就已经开始了,进入中学,随着代数式、方程的研究也慢慢地渗透着这种思想.如果注意在学习与函数有关的知识时,经常地向学生渗透“对应”的观点,那么在初二学习函数概念时,学生就能较顺利地接受函数这个概念.

6.2在教学中把握渗透函数思想及函数思想方法

在函数概念的教学中,函数思想主要体现在以下三个方面[8]:首先,函数思想集中反映了变量(自变量)与变量(函数)之间的变化规律.其次,对应是函数思想的本质特征.再次,自变量的变化处于主导地位,在函数y=f(x)中,y与x的地位完全不同,x的变化起决定性作用,变量y处于依从地位.函数的值域是由定义域通过对应法则所决定.因此,自变量的变化范围是函数的另一个基本因素.

函数的思想方法在理解函数概念时有着重要的作用.函数的思想方法是中学数学的主导思想之一,它在培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的过程中,具有其他思想方法所不及的指导作用.函数知识学习的最终目的是对函数思想的领悟和掌握,而学习过程中函数思想方法的渗透,又可以加深对函数概念的理解[9].

6.3让函数概念教学走向生活化

6.3.1阐明常、变量的客观存在

常量在现实生活中,随处可见,生活的每一个角落,社会的各个领域都有常量的身影.同时,认识变量的普遍存在,我们的周围万事万物每时每刻都在变,有些变化着的量可以用数来刻画.

通过从常量到变量,继而思考变量与变量间的关系,自然过渡到函数概念,选用学生比较熟悉的实例,力图让学生认识到数学与生活得密切联系,通过具有现实意义的情境引入.

6.3.2多列举实例

函数的概念要理解透彻并非一朝一夕的事,在设计函数课的教学过程时不可能做到一步到位,必须由浅入深给学生一个逐步加深认识的过程.可给学生呈现一些函数的简单实例,例子要结合实际生活,也要紧紧结合教材内容.

在设计教学过程时一定要抓住这一点,不管是开始的情景引入,还是后面的例题讲解和课堂演练,都要选择贴近生活的例子,从而可以很好的调动学生的积极性,激发学生的学习兴趣.

在设计函数概念教学时,不要一味地按照教材原有的模式把内容给呈现出来,应试图通过整合教材,加入一些课外的,与本地实际生活相联系的内容来把新知识呈现在学生面前,在引发学生学习欲望的同时,拓宽学生的知识面,加强学生的数学应用意识.

在函数教学过程中要多举例,加深对函数概念的理解,反例提供了概念学习最有利的辨别信息,让学生进行函数正反例子的辨析有助于学生形成正确的认知结构.在函数概念教学过程中,不能只列举正例,使学生的视野受到束缚,也应通过构造适当的反例函数,澄清学生的模糊和错误的认识,促进学生正确的函数概念的建立.

6.3.3重视数形结合

“函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量.”函数自产生就和图形结下了不解之缘.函数的表示方法之一是图像法,即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系.这种表示方法的产生,将数量关系直观化、形象化,提供了数形结合地研究问题的重要方法,教学过程中,要注意函数解析式与图像的结合这两方面的互补,体现两者之间的联系,突出两者间转化对分析解决问题的特殊作用.

6.4充分调动学生主观能动性

注重学生的学习体验和探索感受.因而,充分展开学生参与学习的过程非常必要.小组交流学习的教学方式能有效地体现学生的合作性、参与性、主体性,适时开展小组交流学习一方面可以达到深化本节内容的学习效果,另一方面,也充分体现新课程理念精神.教师理应从一个知识的传播者转变为学生发展的促进者,引导学生进行探索,建立民主的、平等的师生关系,让学生在平等、尊重、理解和宽容的氛围中快乐的学习.

参考文献

[1]义务教育课程标准实验教科书(数学)[M].北京:人民教育出版社,2008.

[2]义务教育课程标准实验教科书(数学)[M].北京:北京师范大学出版社,2006.

[3]王建磐主编.义务教育课程标准实验教科书(数学)[M].上海:华东师范大学出版社,2006.

[4]数学课程标准研制组.数学课程标准解读[M].北京:北京师范大学出版社,2002.

[5]简冬梅.函数概念的演进与函数教学[J].四川师范大学学报(自然科学版),2004,27(3).

[6]徐向君.数学概念学习研究[D].呼和浩特:内蒙古师范大学,2004.

[7]田万海.数学教育测量与评论[M].上海:上海教育出版社,1996.

[8]肖柏荣潘娉姣.数学思想方法及其数学示例[M].南京:江苏教育出版社,2004.

[9]李吉宝.有关函数概念教学的若干问题[J].数学教育学报,2003,(2).

高等函数的概念范文篇3

对于高一的学生来讲，初学高中函数时，初中的概念还比较牢固.并且学生在初中接触的都是一次函数、两次函数、反比例函数等对应关系用函数解析式来表示的函数，所以把“对应法则”等同于函数解析式就一点也不奇怪了。

高中的函数定义明确了联系两个变量的是“对应法则”，提到对应法则往往用函数“解析式”表示，并且提到“当函数的变量之间的对应关系不适合或难以用解析式刻画时，图或表是有效的表示函数的方法”也就是说，对应法则不仅仅是函数解析式。但并没对“对应法则”进行进一步解读，更没有提到两个函数解析式的形式不同但对应法则相同的例子，所以学生对”对应法则”的理解比较初中提升有限。

在这个问题中，用来表示对应法则的解析式仅仅是形式不同而已，它们都把相同的自变量x对应到相同的函数值y，所以它们都是相同的一种对应法则.也就是说一个对应法则可以有不同的解析式表示形式，比如函数也和上面的函数是同一函数.但如果把定义域稍作改变，均改为上面的两个函数就不是同一个函数了，对于来讲，它所对应的y不同.这说明这两个解析式代表的对应法则是否相同还与函数的定义域与有关。

总之，如果两个函数定义域相同，相同x的值对应的y相同，我们就认为这两个函数的对应法则相同（即使函数解析式形式不同），这两个函数就是同一个函数。

高中阶段给学生讲清楚“对应法则”与“函数解析式”的联系与区别，无疑会加深高中学生对函数概念中函数概念的本质理解.

其实不仅很多中学生把“对应法则”与“函数解析式”混为一谈，有些数学系毕业的大学生对这两个概念也是模糊的，我们曾用这个问题问过某重点师范大学刚刚毕业的硕士生，她的回答竟然也是“不是同一个函数”，甚至有些教学多年的教师对这个问题的认识也是错误的.实际上，“对应法则”与“函数解析式”没有搞清楚，对函数概念的理解就是不完整的，在后面函数的学习过程中也会引发出问题。

教学中需要通过练习巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，通过从具体到抽象的过程，使学生深入理解函数的实质，避免概念教学的抽象与枯燥，完成函数概念的内化。这方面可以借鉴国外的做法：英国教材由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图像，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。还可以利用其它手段加强对函数理解，比如德国初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。